Какая полная площадь пирамиды с основанием в форме прямоугольного треугольника, где один катет равен 15

Джек

35

Прежде чем решать задачу, давайте вспомним формулы, связанные с площадью и объемом пирамиды. Площадь \(S\) пирамиды можно вычислить с помощью формулы:

\[S = S_{осн} + S_{бок},\]

где \(S_{осн}\) - площадь основания пирамиды, \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

У нас есть пирамида с основанием в форме прямоугольного треугольника. Для начала найдем площадь основания. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b,\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника. В нашем случае один катет равен 15 см, а гипотенуза равна 39 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину другого катета:

\[a^2 + b^2 = c^2,\]

где \(c\) - гипотенуза треугольника. Подставляя значения:

\[15^2 + b^2 = 39^2.\]

Решим эту квадратную уравнение:

\[225 + b^2 = 1521,\]
\[b^2 = 1521 - 225,\]
\[b^2 = 1296,\]
\[b = \sqrt{1296},\]
\[b = 36.\]

Теперь мы знаем, что второй катет равен 36 см. Вычислим площадь основания:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \times 15 \times 36,\]
\[S_{осн} = 270 \, см^2.\]

Теперь давайте найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

\[S_{бок} = П \times a \times h,\]

где \(П\) - периметр основания пирамиды, \(a\) - длина стороны основания, \(h\) - высота боковой грани пирамиды. В нашем случае периметр равен:

\[П = 15 + 36 + 39 = 90 \, см.\]

Высоту боковой грани пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора:

\[h^2 = c^2 - a^2,\]
\[h^2 = 39^2 - 15^2,\]
\[h^2 = 1521 - 225,\]
\[h^2 = 1296,\]
\[h = \sqrt{1296},\]
\[h = 36 \, см.\]

Вычислим площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 90 \times 15 \times 36,\]
\[S_{бок} = 48600 \, см^2.\]

Наконец, вычислим полную площадь пирамиды:

\[S = S_{осн} + S_{бок},\]
\[S = 270 + 48600,\]
\[S = 48870 \, см^2.\]

Ответ: полная площадь пирамиды равна 48870 см\(^2\).