Как выглядит график функции у=4х^2-3х/х-х^2-4/х+2?

Fedor_1751

37

Для начала давайте решим уравнение, чтобы найти точки, где функция может иметь разрывы или асимптоты. Уравнение имеет вид:

\[y = \frac{4x^2 - 3x}{x - x^2} - \frac{4}{x + 2}\]

Для того чтобы найти разрывы функции, найдем значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю. Таким образом, мы исключим точки, в которых функция может не определиться или иметь разрыв.

1) Знаменатель первой дроби \(x - x^2\) будет равен нулю, когда:

\[x - x^2 = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[x(1 - x) = 0\]

Таким образом, у нас два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\).

2) Знаменатель второй дроби \(x + 2\) будет равен нулю, когда:

\[x + 2 = 0\]

Таким образом, у нас одно значение \(x\): \(x = -2\).

Теперь мы знаем, что функция может иметь разрывы в точках \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = -2\).

Для графика функции нам также нужно узнать поведение функции при \(x \to \pm \infty\) (то есть когда \(x\) стремится к плюс или минус бесконечности).

Анализируя функцию, мы видим, что степень выше в числителе (2) больше степени в знаменателе (1). Поэтому у функции есть горизонтальная асимптота, которая проходит через \(y = 0\).

Теперь перейдем к построению графика функции у=4х^2-3х/х-х^2-4/х+2:

1) Начнем с разрывов.
- В точке \(x = 0\) функция может иметь разрыв, поэтому на графике поставим вертикальную прерывистую линию, отмечая эту точку.
- В точке \(x = 1\) функция также может иметь разрыв, поэтому на графике поставим еще одну вертикальную прерывистую линию, отмечая эту точку.
- В точке \(x = -2\) функция имеет вертикальную асимптоту, поэтому на графике поставим вертикальную прерывистую линию, отмечая это положение.

2) Построим график функции для трех интервалов:
- В интервале \(-\infty < x < -2\) функция будет монотонно возрастать и стремиться к вертикальной асимптоте в точке \(x = -2\).
- В интервале \(-2 < x < 0\) функция будет монотонно убывать.
- В интервале \(0 < x < 1\) функция будет монотонно возрастать.
- Затем, для \(x > 1\) функция будет убывать.

3) Теперь построим точки экстремумов, где функция имеет наибольшие и наименьшие значения. Для этого найдем точки, где производная равна нулю или не определена, и проведем проверку на выпуклость функции.

4) И, наконец, построим график, соединяя все точки и отражая общие свойства графика, такие как симметрия или асимметрия, выпуклость и другие.

Описать весь график функции без наглядного изображения сложно, однако я надеюсь, что это решение на основе вышеуказанных шагов поможет вам представить общий вид графика функции \[y = \frac{4x^2 - 3x}{x - x^2} - \frac{4}{x + 2}\]. Если у вас возникнут конкретные вопросы по ходу решения или для более детального объяснения, пожалуйста, спросите!