Как выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→−, если дана трапеция ABCD с соотношением AD = 9BC?

Пушистик

57

Чтобы выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→−, мы можем использовать геометрические свойства трапеции ABCD и отношение длин сторон AD и BC. Для начала, давайте рассмотрим геометрические свойства трапеции ABCD:

1. Все параллельные стороны трапеции равны.
2. Диагонали трапеции делятся пополам.

Теперь приступим к решению задачи. Предположим, что точка O является точкой пересечения диагоналей AC−→− и BD−→− трапеции ABCD. Давайте обозначим точку пересечения диагоналей как точку M.

Согласно геометрическим свойствам трапеции, каждая диагональ делится пополам, то есть AM−→− = MC−→− и BM−→− = MD−→−. Также, AM−→− + BM−→− = AB−→− и MC−→− + MD−→− = DC−→−.

Теперь давайте выразим векторы AM−→− и BM−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→−:

AM−→− = AO−→− + OM−→−
BM−→− = BO−→− + OM−→−

Также знайте, что для векторного сложения мы можем менять порядок слагаемых:

AM−→− = OA−→− + OM−→− (1)
BM−→− = OB−→− + OM−→− (2)

Теперь найдем вектор OD−→−:

OD−→− = OC−→− + CD−→−

А также мы знаем, что CD−→− = DC−→−, где DC−→− - это вектор, обратный DC−→−.

Заменим DC−→−:

CD−→− = -DM−→− - MC−→−

Теперь мы можем выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→−:

OD−→− = OC−→− + CD−→−
OD−→− = OC−→− + (-DM−→− - MC−→−)
OD−→− = OC−→− - DM−→− - MC−→−

Далее, заменим вектор DM−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OM−→−:

DM−→− = OA−→− + AM−→− (из (1))
DM−→− = OA−→− + (OA−→− + OM−→−) (из (1))
DM−→− = 2OA−→− + OM−→−

Теперь, подставим это значение обратно в выражение для вектора OD−→−:

OD−→− = OC−→− - DM−→− - MC−→−
OD−→− = OC−→− - (2OA−→− + OM−→−) - MC−→−
OD−→− = OC−→− - 2OA−→− - OM−→− - MC−→−

Таким образом, мы получили выражение для вектора OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→−:

OD−→− = OC−→− - 2OA−→− - OM−→− - MC−→−

Надеюсь, это решение понятно и детально объясняет, как выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− для данной трапеции ABCD. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!