Как выразить векторы bd, bc, cd, ed и ес через векторы a=ae, b=ac, c=ad в треугольной пирамиде abcd, где точка е лежит

Камень_7689

42

Чтобы выразить векторы \(bd\), \(bc\), \(cd\), \(ed\) и \(ec\) через векторы \(a=ae\), \(b=ac\) и \(c=ad\) в треугольной пирамиде \(abcd\), где точка \(e\) лежит на ребре \(av\) и делит его в отношении \(ae:ev=3\), мы можем использовать свойство векторов, а именно свойство умножения на скаляр. Возьмем вектор \(bd\) в качестве примера и предоставим пошаговое решение.

1. Найдем вектор \(ab\) и умножим его на \(d\). По свойству векторов, мы можем представить вектор \(bd\) как разность векторов \(ba\) и \(ad\):
\[bd = ba - ad\]

2. Теперь нам нужно выразить векторы \(ba\) и \(ad\) через векторы \(a\), \(b\) и \(c\). Мы знаем, что \(a=ae\), поэтому \(ba = be - ae\). Аналогичным образом, \(ad = ac - cd\).

3. Заменим в выражении из пункта 1 \(ba\) и \(ad\) на их эквиваленты, полученные в пункте 2:
\[bd = (be - ae) - (ac - cd)\]

4. Раскроем скобки и преобразуем выражение:
\[bd = be - ae - ac + cd\]

5. Теперь мы можем написать аналогичные выражения для векторов \(bc\), \(cd\), \(ed\) и \(ec\) и заменить в них соответствующие векторы:
\[bc = ba - ac = (be - ae) - ac\]
\[cd = ca - ad = ac - (ac - cd)\]
\[ed = ea - ad = (be + ac) - (ac - cd)\]
\[ec = ea - ac = (be + ac) - ac\]

Таким образом, мы получили выражения для векторов \(bd\), \(bc\), \(cd\), \(ed\) и \(ec\) через векторы \(a=ae\), \(b=ac\) и \(c=ad\) в треугольной пирамиде \(abcd\):

\[bd = be - ae - ac + cd\]
\[bc = be - ae - ac\]
\[cd = ac - (ac - cd)\]
\[ed = be + ac - (ac - cd)\]
\[ec = be + ac - ac\]