Как записать уравнение плоскости, которая проходит через точку (7,1,0), параллельна плоскости 2x+3y-z-15=0 и пересекает

Вечный_Сон

48

Хорошо, чтобы записать уравнение плоскости, которая проходит через данную точку и параллельна данной плоскости, нам понадобится знать нормальный вектор \( \mathbf{N} \) этой плоскости. Нормальный вектор плоскости, которая параллельна данной плоскости, будет иметь те же самые коэффициенты перед \( x \), \( y \) и \( z \). Таким образом, нормальный вектор \( \mathbf{N} \) равен \( (2, 3, -1) \).

Теперь, учитывая, что плоскость проходит через точку (7, 1, 0), мы можем использовать формулу уравнения плоскости:

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

где \( A \), \( B \) и \( C \) - это коэффициенты уравнения плоскости, а \( (x_0, y_0, z_0) \) - координаты данной точки.

Заменим значения \( x_0 \), \( y_0 \), \( z_0 \) и \( A \), \( B \), \( C \) в уравнении:

\[ 2(x - 7) + 3(y - 1) - (z - 0) = 0 \]

Упростим это уравнение:

\[ 2x - 14 + 3y - 3 - z = 0 \]

После объединения подобных членов, получаем уравнение плоскости:

\[ 2x + 3y - z - 17 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку (7,1,0), параллельной плоскости \( 2x+3y-z-15=0 \), записывается в виде \( 2x + 3y - z - 17 = 0 \).

Теперь остается только решить вопрос о пересечении данной плоскости с прямой \( \frac{x}{1} = y - \frac{1}{4} = z - \frac{3}{2} \). Для этого необходимо записать параметрическое уравнение этой прямой и найти точку пересечения.

Преобразуем уравнение прямой в параметрическую форму:

\[ x = t \]
\[ y = t + \frac{1}{4} \]
\[ z = t + \frac{3}{2} \]

Теперь подставим эти параметрические уравнения плоскости и найдем значение \( t \):

\[ 2(t) + 3(t + \frac{1}{4}) - (t + \frac{3}{2}) - 17 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 2t + 3t + \frac{3}{4} - t - \frac{3}{2} - 17 = 0 \]

\[ 4t - 13 = 0 \]

\[ 4t = 13 \]

\[ t = \frac{13}{4} \]

Таким образом, точка пересечения плоскости и прямой равна \( (\frac{13}{4}, \frac{13}{4} + \frac{1}{4}, \frac{13}{4} + \frac{3}{2}) = (\frac{13}{4}, \frac{14}{4}, \frac{19}{4}) \).

Итак, уравнение плоскости, которая проходит через точку (7,1,0), параллельна плоскости \( 2x+3y-z-15=0 \) и пересекает прямую \( \frac{x}{1} = y - \frac{1}{4} = z - \frac{3}{2} \), записывается в виде \( 2x + 3y - z - 17 = 0 \). Точка пересечения плоскости и прямой равна \( (\frac{13}{4}, \frac{14}{4}, \frac{19}{4}) \).