Какая будет конечная температура смеси, если в бочку с 40 кг воды при температуре 20 °C добавили по 20 кг горячей воды

Мурзик_1484

49

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения энергии. Сначала вычислим количество тепла, необходимое для нагревания каждой порции воды до искомой конечной температуры.

Для 40 кг воды при начальной температуре 20 °C исходный тепловой потенциал равен:

\[Q_1 = m_1 \cdot c_1 \cdot \Delta T_1\]

где \(m_1\) - масса воды, \(c_1\) - удельная теплоёмкость воды, а \(\Delta T_1\) - изменение температуры.

Мы знаем, что \(m_1 = 40\) кг, \(c_1 = 4,186\) Дж/(г °C) (удельная теплоёмкость воды) и \(\Delta T_1\) - разница между конечной и начальной температурами. В данном случае это \(T - 20\) (где \(T\) - конечная температура смеси).

Тепло, необходимое для нагревания 40 кг воды, составит:

\[Q_1 = 40 \cdot 4,186 \cdot (T - 20)\]

Теперь рассмотрим каждую порцию горячей воды. Для каждой из них мы можем использовать аналогичное уравнение:

\[Q_2 = m_2 \cdot c_2 \cdot \Delta T_2\]

Для первой порции (20 кг воды при температуре 90 °C):

\[Q_{2_1} = 20 \cdot 4,186 \cdot (T - 90)\]

Аналогично, для второй порции (20 кг воды при температуре 50 °C):

\[Q_{2_2} = 20 \cdot 4,186 \cdot (T - 50)\]

Теперь найдём общее количество тепла, которое необходимо для нагревания всей смеси:

\[Q_{\text{общ}} = Q_1 + Q_{2_1} + Q_{2_2}\]

А конечную температуру смеси \(T\) можно найти, используя общее количество тепла и уравнение:

\[Q_{\text{общ}} = m_{\text{см}} \cdot c_{\text{см}} \cdot \Delta T_{\text{см}}\]

где \(m_{\text{см}}\) - общая масса смеси (40 кг + 20 кг + 20 кг), \(c_{\text{см}}\) - удельная теплоёмкость смеси (предположим, что это также 4,186 Дж/(г °C)), а \(\Delta T_{\text{см}}\) - изменение температуры смеси (конечная температура - 20 °C).

Итак, подставим значения и решим уравнение относительно \(T\):

\[Q_{\text{общ}} = (40 + 20 + 20) \cdot 4,186 \cdot (T - 20)\]

Вычислим \(Q_{\text{общ}}\):

\[Q_{\text{общ}} = 40 \cdot 4,186 \cdot (T - 20) + 20 \cdot 4,186 \cdot (T - 90) + 20 \cdot 4,186 \cdot (T - 50)\]

\[Q_{\text{общ}} = 167.44 \cdot T - 16688.8\]

Теперь подставим это выражение в уравнение для общего количества тепла:

\[167.44 \cdot T - 16688.8 = (40 + 20 + 20) \cdot 4,186 \cdot (T - 20)\]

\[167.44 \cdot T - 16688.8 = 80 \cdot 4,186 \cdot (T - 20)\]

\[167.44 \cdot T - 16688.8 = 3347.2 \cdot T - 66944\]

\[3180.76 \cdot T = 50255.2\]

\[T = \frac{50255.2}{3180.76} \approx 15.802 \, \text{°C}\]

Итак, конечная температура смеси будет около 15,8 °C.