Какая будет масса водяного пара, который сконденсируется при охлаждении закрытого сосуда объемом v = 200дм3 с воздухом

Aleksandrovna

40

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой Клапейрона-Клаузиуса, которая связывает давление насыщенного пара с температурой. Формула имеет следующий вид:

\[ p = p_0 \cdot exp\left(\frac{{-L}}{{R}} \cdot \frac{{1}}{{T}}\right) \]

где:
\( p \) - давление насыщенного пара,
\( p_0 \) - давление насыщенного пара при определенной температуре,
\( L \) - теплота парообразования,
\( R \) - универсальная газовая постоянная,
\( T \) - температура в абсолютных единицах.

Для начала, переведем температуры из градусов Цельсия в Кельвины. Для этого используется следующая формула:

\[ T(K) = t(°C) + 273.15 \]

Температура \( t_1 \) будет равна:

\[ t_1(K) = 25 + 273.15 = 298.15 K \]

Температура \( t_2 \) будет равна:

\[ t_2(K) = 10 + 273.15 = 283.15 K \]

Теперь, посмотрим на давление насыщенного пара при температуре \( t_1 \):

\[ p_01 = 3.13 \times 10^{-3} \ Па \]

А также на давление насыщенного пара при температуре \( t_2 \):

\[ p_02 = 1.21 \times 10^{-3} \ Па \]

Мы знаем, что объем сосуда составляет \( v = 200 \ дм^3 \). Нам также дана относительная влажность \( \varphi = 60\% \).

Определим, сколько водяного пара содержится в воздухе при температуре \( t_1 \). Для этого умножим давление насыщенного пара при температуре \( t_1 \) на относительную влажность:

\[ m_0 = p_{01} \cdot \varphi \]

Теперь, найдем давление воздуха при температуре \( t_2 \) с помощью формулы:

\[ p = \frac{{m \cdot R \cdot T}}{v} \]

где:
\( m \) - масса водяного пара,
\( R \) - универсальная газовая постоянная.

Мы знаем, что \( p = p_{02} + p" \), где \( p" \) - давление воздуха при температуре \( t_2 \).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( m \):

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{p_{02} \cdot v}}{{R \cdot T_2}} \]

Подставим значения и рассчитаем получившийся результат:

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{p_{02} \cdot v}}{{R \cdot T_2}} \]

Универсальная газовая постоянная \( R \) равна примерно \( 8.314 \ Па \cdot м^3/(моль \cdot К) \). Подставим эту величину в уравнение, а также значения \( p" = p \) (так как сосуд закрытый) и найденные нами значения \( v, t_2, p_{02} \):

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{p_{02} \cdot v}}{{R \cdot T_2}} \]

Подставим найденные значения:

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{1.21 \times 10^{-3} \cdot 200}}{{8.314 \cdot 283.15}} \]

\[ m \approx \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - 0.1124 \]

Теперь, чтобы найти \( m \), нужно знать значение давления \( p" \), которое определяется законом Рауля для идеальных растворов.

\[
p" = x \cdot P
\]

где:
\( P \) - атмосферное давление,
\( x \) - мольная доля вещества, представленного водяным паром в присутствии воздуха.

Мы знаем, что \( x = \frac{{m_0}}{{M \cdot n_{возд}}}\), где \( M \) - молярная масса воды, а \( n_{возд} \) - количество вещества воздуха.

Найдем молярную массу воды, использовав литературное значение, равное примерно \( 0.018 \ кг/моль \).

Также, количество вещества воздуха можно определить, используя уравнение состояния идеальных газов:

\( p_{возд} \cdot V = n_{возд} \cdot R \cdot T_1 \)

где:
\( p_{возд} \) - давление воздуха,
\( V \) - объем сосуда с воздухом,
\( R \) - универсальная газовая постоянная.

Можно выразить \( n_{возд} \):

\( n_{возд} = \frac{{p_{возд} \cdot V}}{{R \cdot T_1}} \)

Подставим все значения и рассчитаем \( n_{возд} \):

\( n_{возд} = \frac{{p_{возд} \cdot V}}{{R \cdot T_1}} = \frac{{1 \cdot 0.2}}{{8.314 \cdot 298.15}} \approx 0.010`

Теперь, используя \( n_{возд} \), найдем \( x \):

\( x = \frac{{m_0}}{{M \cdot n_{возд}}} = \frac{{p_{01} \cdot \varphi}}{{M \cdot n_{возд}}} \)

Подставим все значения и рассчитаем \( x \):

\( x = \frac{{p_{01} \cdot \varphi}}{{M \cdot n_{возд}}} = \frac{{3.13 \times 10^{-3} \cdot 0.6}}{{0.018 \cdot 0.010}} \approx 3.300 \)

Теперь, зная значение \( x \), мы можем рассчитать \( p" \):

\( p" = x \cdot P = 3.300 \cdot 1 = 3.300 \ Па \)

Вернемся к формуле, которую мы использовали раньше для нахождения \( m \)

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{p_{02} \cdot v}}{{R \cdot T_2}} \]

Подставим значения и рассчитаем \( m \):

\[ m = \frac{{p" \cdot v}}{{R \cdot T_2}} - \frac{{1.21 \times 10^{-3} \cdot 200}}{{8.314 \cdot 283.15}} \]

\[ m \approx \frac{{3.300 \cdot 200}}{{8.314 \cdot 283.15}} - 0.1124 \approx 1.562 \]

Таким образом, масса водяного пара, который сконденсируется при охлаждении закрытого сосуда объемом 200дм³ с воздухом, содержащим относительную влажность 60%, от температуры 25°C до 10°C, будет равна приблизительно 1.562 г.