Какая была начальная температура льда, если две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки, заполненные до высоты

Инна

19

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть \( m \) - масса льда до выливания воды, \( c_л \) - удельная теплоемкость льда, \( \lambda \) - энтальпия плавления льда, \( \Delta T \) - изменение температуры льда при плавлении, \( \rho_л \) - плотность льда, \( h \) - высота воды в трубке до выливания, \( \delta h \) - изменение высоты воды после выливания, \( \rho_в \) - плотность воды, \( c_в \) - удельная теплоемкость воды, \( T_в \) - начальная температура льда.

Изменение высоты воды вызвано объемом воды \( \delta V \), который мы можем выразить через изменение высоты воды, используя площадь поперечного сечения трубки \( S \):
\[ \delta V = S \cdot \delta h \]

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания. Вычислим массу воды до выливания:
\[ m_в = \rho_в \cdot V_в \]
где \( V_в \) - объем воды до выливания, который можно выразить через высоту воды в трубке \( h \) и площадь поперечного сечения трубки \( S \):
\[ V_в = S \cdot h \]

Аналогично, вычислим массу льда до выливания:
\[ m_л = \rho_л \cdot V_л \]
где \( V_л \) - объем льда до выливания, который можно найти через высоту воды в трубке до выливания:
\[ V_л = S \cdot (h + \delta h) \]

Масса льда до выливания равна сумме массы воды до выливания и массы воды после выливания, так как весь объем воды перешел в лед:
\[ m_л = m_в + \rho_в \cdot \delta V \]
Подставляя выражения для массы льда и воды, получаем:
\[ \rho_л \cdot S \cdot (h + \delta h) = \rho_в \cdot (S \cdot h) + \rho_в \cdot S \cdot \delta h \]
Упрощая выражение, получаем:
\[ \rho_л \cdot h + \rho_л \cdot \delta h = \rho_в \cdot h + \rho_в \cdot \delta h + \rho_в \cdot \delta h \]
\[ (\rho_л - \rho_в) \cdot \delta h = (\rho_в - \rho_л) \cdot h \]
\[ \delta h = \frac{(\rho_в - \rho_л) \cdot h}{(\rho_л - \rho_в)} \]

Масса льда до выливания можно найти через плотность, удельную теплоемкость и изменение температуры льда:
\[ m_л = \frac{\lambda}{c_л} + \Delta T \]
Используя найденные значения \( m_л \) и \( m_в \), уравнение для массы льда до выливания можно записать следующим образом:
\[ \rho_л \cdot V_л = \frac{\lambda}{c_л} + \Delta T \]

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания плюс массе льда, которая получается в результате плавления:
\[ m_в = \rho_в \cdot V_в + \frac{m_л}{\rho_л} \]
Подставляя выражения для массы воды и льда, получаем:
\[ \rho_в \cdot S \cdot h = \rho_в \cdot S \cdot \delta h + \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \]
Упрощая выражение, получаем:
\[ \rho_в \cdot h = \rho_в \cdot \delta h + \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \]
\[ \delta h = \rho_в \cdot h - \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \]

Теперь мы имеем систему уравнений:
\[ \delta h = \frac{(\rho_в - \rho_л) \cdot h}{(\rho_л - \rho_в)} \]
\[ \delta h = \rho_в \cdot h - \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \]

Решим эту систему уравнений относительно \( h \):
\[ \frac{(\rho_в - \rho_л) \cdot h}{(\rho_л - \rho_в)} = \rho_в \cdot h - \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \]
\[ (\rho_в - \rho_л) \cdot h = (\rho_в \cdot h - \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л}) \cdot (\rho_л - \rho_в) \]
\[ (\rho_в - \rho_л) \cdot h = \rho_в \cdot h \cdot (\rho_л - \rho_в) - \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{\rho_л} \cdot (\rho_л - \rho_в) \]
\[ \rho_в \cdot h \cdot (\rho_л - \rho_в) - \rho_л \cdot h \cdot (\rho_в - \rho_л) = \lambda + c_л \cdot \Delta T \]
\[ h \cdot (\rho_в \cdot (\rho_л - \rho_в) - \rho_л \cdot (\rho_в - \rho_л)) = \lambda + c_л \cdot \Delta T \]
\[ h = \frac{\lambda + c_л \cdot \Delta T}{(\rho_в \cdot (\rho_л - \rho_в) - \rho_л \cdot (\rho_в - \rho_л))} \]

Теперь мы можем подставить значения в наши уравнения и найти начальную температуру льда:
\[ h = \frac{(\lambda + c_л \cdot \Delta T)}{(\rho_в \cdot (\rho_л - \rho_в) - \rho_л \cdot (\rho_в - \rho_л))} \]
подставляем значения
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 10 \cdot 0.5)}{(1000 \cdot (900 - 1000) - 900 \cdot (1000 - 900))} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 10 \cdot 0.5)}{(1000 \cdot (-100) - 900 \cdot (-100))} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 10 \cdot 0.5)}{(-100 \cdot (1000 + 900))} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 10 \cdot 0.5)}{(-100 \cdot 1900)} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 10 \cdot 0.5)}{-190000} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 2100 \cdot 5)}{-190} \]
\[ h = \frac{(330 \cdot 10^3 + 10500)}{-190} \]
\[ h = \frac{(330000 + 10500)}{-190} \]
\[ h = \frac{340500}{-190} \]
\[ h \approx -1792 \]

Ответ: начальная температура льда составляла примерно -1792 ∘C (цельсий).