Какая была начальная температура льда, если две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки, заполненные до высоты

  • 52
Какая была начальная температура льда, если две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки, заполненные до высоты h=25 см, содержали лед и воду при температуре 10 ∘C? После того как воду выллили на лед и наблюдали изменение уровня, оказалось, что уровень повысился на δh=0,5 см. Удельная теплоемкость воды составляет cв=4200 дж/кг⋅∘C, удельная теплоемкость льда равна cл=2100 дж/кг⋅∘C, а энтальпия плавления льда λ=330 кДж/кг. Плотность льда ρл=900 кг/м³, а плотность воды ρв=1000 кг/м³. Ответ нужно выразить в ∘C и округлить до целого числа.
Инна
19
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть m - масса льда до выливания воды, cл - удельная теплоемкость льда, λ - энтальпия плавления льда, ΔT - изменение температуры льда при плавлении, ρл - плотность льда, h - высота воды в трубке до выливания, δh - изменение высоты воды после выливания, ρв - плотность воды, cв - удельная теплоемкость воды, Tв - начальная температура льда.

Изменение высоты воды вызвано объемом воды δV, который мы можем выразить через изменение высоты воды, используя площадь поперечного сечения трубки S:
δV=Sδh

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания. Вычислим массу воды до выливания:
mв=ρвVв
где Vв - объем воды до выливания, который можно выразить через высоту воды в трубке h и площадь поперечного сечения трубки S:
Vв=Sh

Аналогично, вычислим массу льда до выливания:
mл=ρлVл
где Vл - объем льда до выливания, который можно найти через высоту воды в трубке до выливания:
Vл=S(h+δh)

Масса льда до выливания равна сумме массы воды до выливания и массы воды после выливания, так как весь объем воды перешел в лед:
mл=mв+ρвδV
Подставляя выражения для массы льда и воды, получаем:
ρлS(h+δh)=ρв(Sh)+ρвSδh
Упрощая выражение, получаем:
ρлh+ρлδh=ρвh+ρвδh+ρвδh
(ρлρв)δh=(ρвρл)h
δh=(ρвρл)h(ρлρв)

Масса льда до выливания можно найти через плотность, удельную теплоемкость и изменение температуры льда:
mл=λcл+ΔT
Используя найденные значения mл и mв, уравнение для массы льда до выливания можно записать следующим образом:
ρлVл=λcл+ΔT

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания плюс массе льда, которая получается в результате плавления:
mв=ρвVв+mлρл
Подставляя выражения для массы воды и льда, получаем:
ρвSh=ρвSδh+(λ+cлΔT)ρл
Упрощая выражение, получаем:
ρвh=ρвδh+(λ+cлΔT)ρл
δh=ρвh(λ+cлΔT)ρл

Теперь мы имеем систему уравнений:
δh=(ρвρл)h(ρлρв)
δh=ρвh(λ+cлΔT)ρл

Решим эту систему уравнений относительно h:
(ρвρл)h(ρлρв)=ρвh(λ+cлΔT)ρл
(ρвρл)h=(ρвh(λ+cлΔT)ρл)(ρлρв)
(ρвρл)h=ρвh(ρлρв)(λ+cлΔT)ρл(ρлρв)
ρвh(ρлρв)ρлh(ρвρл)=λ+cлΔT
h(ρв(ρлρв)ρл(ρвρл))=λ+cлΔT
h=λ+cлΔT(ρв(ρлρв)ρл(ρвρл))

Теперь мы можем подставить значения в наши уравнения и найти начальную температуру льда:
h=(λ+cлΔT)(ρв(ρлρв)ρл(ρвρл))
подставляем значения
h=(330103+2100100.5)(1000(9001000)900(1000900))
h=(330103+2100100.5)(1000(100)900(100))
h=(330103+2100100.5)(100(1000+900))
h=(330103+2100100.5)(1001900)
h=(330103+2100100.5)190000
h=(330103+21005)190
h=(330103+10500)190
h=(330000+10500)190
h=340500190
h1792

Ответ: начальная температура льда составляла примерно -1792 ∘C (цельсий).