Какая была начальная температура льда, если две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки, заполненные до высоты

Инна

19

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть $m$ - масса льда до выливания воды, $c_{л}$ - удельная теплоемкость льда, $\lambda$ - энтальпия плавления льда, $\mathrm{\Delta }T$ - изменение температуры льда при плавлении, ${\rho }_{л}$ - плотность льда, $h$ - высота воды в трубке до выливания, $\delta h$ - изменение высоты воды после выливания, ${\rho }_{в}$ - плотность воды, $c_{в}$ - удельная теплоемкость воды, $T_{в}$ - начальная температура льда.

Изменение высоты воды вызвано объемом воды $\delta V$, который мы можем выразить через изменение высоты воды, используя площадь поперечного сечения трубки $S$:
$$\delta V=S\cdot \delta h$$

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания. Вычислим массу воды до выливания:
$$m_{в}={\rho }_{в}\cdot V_{в}$$
где $V_{в}$ - объем воды до выливания, который можно выразить через высоту воды в трубке $h$ и площадь поперечного сечения трубки $S$:
$$V_{в}=S\cdot h$$

Аналогично, вычислим массу льда до выливания:
$$m_{л}={\rho }_{л}\cdot V_{л}$$
где $V_{л}$ - объем льда до выливания, который можно найти через высоту воды в трубке до выливания:
$$V_{л}=S\cdot (h+\delta h)$$

Масса льда до выливания равна сумме массы воды до выливания и массы воды после выливания, так как весь объем воды перешел в лед:
$$m_{л}=m_{в}+{\rho }_{в}\cdot \delta V$$
Подставляя выражения для массы льда и воды, получаем:
$${\rho }_{л}\cdot S\cdot (h+\delta h)={\rho }_{в}\cdot (S\cdot h)+{\rho }_{в}\cdot S\cdot \delta h$$
Упрощая выражение, получаем:
$${\rho }_{л}\cdot h+{\rho }_{л}\cdot \delta h={\rho }_{в}\cdot h+{\rho }_{в}\cdot \delta h+{\rho }_{в}\cdot \delta h$$
$$({\rho }_{л}-{\rho }_{в})\cdot \delta h=({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h$$
$$\delta h=\frac{({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h}{({\rho }_{л}-{\rho }_{в})}$$

Масса льда до выливания можно найти через плотность, удельную теплоемкость и изменение температуры льда:
$$m_{л}=\frac{\lambda }{c_{л}}+\mathrm{\Delta }T$$
Используя найденные значения $m_{л}$ и $m_{в}$, уравнение для массы льда до выливания можно записать следующим образом:
$${\rho }_{л}\cdot V_{л}=\frac{\lambda }{c_{л}}+\mathrm{\Delta }T$$

Масса воды до выливания равна массе воды после выливания плюс массе льда, которая получается в результате плавления:
$$m_{в}={\rho }_{в}\cdot V_{в}+\frac{m_{л}}{{\rho }_{л}}$$
Подставляя выражения для массы воды и льда, получаем:
$${\rho }_{в}\cdot S\cdot h={\rho }_{в}\cdot S\cdot \delta h+\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}$$
Упрощая выражение, получаем:
$${\rho }_{в}\cdot h={\rho }_{в}\cdot \delta h+\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}$$
$$\delta h={\rho }_{в}\cdot h-\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}$$

Теперь мы имеем систему уравнений:
$$\delta h=\frac{({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h}{({\rho }_{л}-{\rho }_{в})}$$
$$\delta h={\rho }_{в}\cdot h-\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}$$

Решим эту систему уравнений относительно $h$:
$$\frac{({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h}{({\rho }_{л}-{\rho }_{в})}={\rho }_{в}\cdot h-\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}$$
$$({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h=({\rho }_{в}\cdot h-\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}})\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})$$
$$({\rho }_{в}-{\rho }_{л})\cdot h={\rho }_{в}\cdot h\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})-\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{{\rho }_{л}}\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})$$
$${\rho }_{в}\cdot h\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})-{\rho }_{л}\cdot h\cdot ({\rho }_{в}-{\rho }_{л})=\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T$$
$$h\cdot ({\rho }_{в}\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})-{\rho }_{л}\cdot ({\rho }_{в}-{\rho }_{л}))=\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T$$
$$h=\frac{\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T}{({\rho }_{в}\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})-{\rho }_{л}\cdot ({\rho }_{в}-{\rho }_{л}))}$$

Теперь мы можем подставить значения в наши уравнения и найти начальную температуру льда:
$$h=\frac{(\lambda +c_{л}\cdot \mathrm{\Delta }T)}{({\rho }_{в}\cdot ({\rho }_{л}-{\rho }_{в})-{\rho }_{л}\cdot ({\rho }_{в}-{\rho }_{л}))}$$
подставляем значения
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 10\cdot 0.5)}{(1000\cdot (900-1000)-900\cdot (1000-900))}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 10\cdot 0.5)}{(1000\cdot (-100)-900\cdot (-100))}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 10\cdot 0.5)}{(-100\cdot (1000+900))}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 10\cdot 0.5)}{(-100\cdot 1900)}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 10\cdot 0.5)}{-190000}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+2100\cdot 5)}{-190}$$
$$h=\frac{(330\cdot {10}^3+10500)}{-190}$$
$$h=\frac{(330000+10500)}{-190}$$
$$h=\frac{340500}{-190}$$
$$h\approx -1792$$

Ответ: начальная температура льда составляла примерно -1792 ∘C (цельсий).