Какая часть боковой поверхности большого конуса соответствует боковой поверхности меньшего конуса, отсечённого

Татьяна

19

Для того чтобы найти часть боковой поверхности большого конуса, которая соответствует боковой поверхности меньшего конуса, отсеченной плоскостью, параллельной основанию в предоставленном отношении, нам необходимо учитывать пропорциональное изменение подобных фигур.

Пусть у нас есть два конуса: большой конус с высотой \(H_1\), радиусом основания \(R_1\), и меньший конус, полученный путем срезания верхней части большого конуса плоскостью, параллельной основанию, с высотой \(H_2\) и радиусом основания \(R_2\). По условию задачи, боковые поверхности этих конусов относятся как \(k:H_1\), где \(k\) - предоставленное отношение.

По теории подобия фигур, соотношение высот конусов будет одинаковым:

\[\frac{H_2}{H_1} = k\]

Также, соотношение радиусов этих конусов:

\[\frac{R_2}{R_1} = \frac{H_2}{H_1}\]

Поскольку плоскость, на которой срезается большой конус, параллельна его основанию, боковые поверхности образованных конусов будут подобными, а значит, отношение площадей их боковых поверхностей будет квадратом отношения радиусов:

\[\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2\]

Подставляем \(\frac{R_2}{R_1} = \frac{H_2}{H_1} = k\):

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

Ответ: Часть боковой поверхности большего конуса, соответствующая боковой поверхности меньшего конуса, будет равна квадрату предоставленного отношения \(k^2\).