Какая часть боковой поверхности усечённого конуса соответствует боковой поверхности отсечённого конуса, если сечение

Ягодка

51

Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся с тем, как выглядят усеченный и отсеченный конусы.

Усеченный конус - это конус, у которого вершина обрезана плоскостью, параллельной основанию конуса. Отсеченный конус - это конус, у которого вершина и часть боковой поверхности обрезаны плоскостью, также параллельной основанию конуса.

В данной задаче, нам дано, что сечение конуса плоскостью параллельно основанию делит его высоту в отношении 2 : 7, считая от вершины. Мы можем использовать это информацию, чтобы найти соотношение между высотами усеченного и отсеченного конусов.

Пусть \(h\) - высота исходного конуса, \(h_1\) - высота усеченного конуса и \(h_2\) - высота отсеченного конуса.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что \(\frac{h_2}{h_1} = \frac{2}{7}\). Также, от вершины до основания исходного конуса, высоты усеченного и отсеченного конусов образуют арифметическую прогрессию.

Используя соотношение между высотами усеченного и отсеченного конусов, мы можем записать:

\(h_1 + h_2 = h\) (1)

Также, исходный конус и усеченный конус имеют одинаковое основание, поэтому отношение площадей боковых поверхностей этих конусов будет такое же, как отношение высот:

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{2}{7}\), где \(S_1\) и \(S_2\) - боковые поверхности усеченного и отсеченного конусов соответственно.

Теперь давайте найдем площади боковых поверхностей усеченного и отсеченного конусов.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\(S = \pi \times r \times l\)

где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая, которая является высотой боковой поверхности усеченного или отсеченного конуса.

Для усеченного конуса, радиус основания равен \(R_1\), а высота равна \(h_1\).

\(S_1 = \pi \times R_1 \times l_1\)

Для отсеченного конуса, радиус основания равен \(R_2\), а высота равна \(h_2\).

\(S_2 = \pi \times R_2 \times l_2\)

У нас нет прямой информации о радиусах, но мы можем заметить, что отношение радиусов усеченного и отсеченного конусов будет такое же, как отношение высот:

\(\frac{R_2}{R_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{2}{7}\)

Подставляя это выражение в формулу для \(S_2\), мы получаем:

\(S_2 = \pi \times \frac{2}{7} \times R_1 \times l_2\)

Теперь, давайте подставим значение \(l_2\) из выражения (1) в формулу для \(S_2\):

\(l_2 = h - h_1\)

\(S_2 = \pi \times \frac{2}{7} \times R_1 \times (h - h_1)\)

Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса составляет \(\frac{2}{7}\) от боковой поверхности отсеченного конуса. Ответом на задачу будет \(\frac{2}{7}\).