Какая часть исходного четырехугольника занимает закрашенная фигура, если каждую сторону выпуклого четырехугольника

Sinica

68

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Для начала давайте взглянем на изображение, которое вы дали.

\[insert image here\]

Мы видим, что выпуклый четырехугольник разделен на 9 равных частей, как показано на рисунке. Теперь нарисуем соответствующие отрезки, соединяющие соответствующие точки.

\[insert image with connecting lines here\]

Мы получили закрашенную фигуру, которая состоит из трех квадратов, шести прямоугольников и трех треугольников. Для решения задачи нам нужно найти соотношение между площадью закрашенной фигуры и исходного четырехугольника.

Для начала посчитаем площадь одного квадрата. Размер стороны одного квадрата можно выразить через длину стороны исходного четырехугольника. Поскольку каждая сторона четырехугольника разделена на 3 равные части, длина одной стороны квадрата будет равна трети от длины стороны исходного четырехугольника. Пусть длина стороны исходного четырехугольника равна \(a\), тогда длина стороны одного квадрата будет равна \(\frac{a}{3}\).

Площадь квадрата вычисляется по формуле \(S = a \cdot a\), где \(a\) - длина стороны квадрата. Подставим наше значение длины: \(S = \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{9}\).

Итак, площадь одного квадрата составляет \(\frac{a^2}{9}\).

Теперь рассмотрим прямоугольники. Длина каждого прямоугольника будет составлять \(\frac{a}{3}\), а ширина - \(a\), так как она равна длине стороны исходного четырехугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = a \cdot b\), где \(a\) - длина, а \(b\) - ширина. Подставим значения: \(S = \frac{a}{3} \cdot a = \frac{a^2}{3}\).

Итак, площадь одного прямоугольника составляет \(\frac{a^2}{3}\).

Наконец, рассмотрим треугольники. Они являются равнобедренными, так как соединяют точки, разделяющие равные стороны четырехугольника. Значит, мы можем использовать формулу для площади равнобедренного треугольника: \(S = \frac{a \cdot h}{2}\), где \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника. Длина основания равна длине одной из сторон исходного четырехугольника, то есть \(a\), а высоту треугольника можно найти как \(\frac{a}{3}\), так как это расстояние между сторонами четырехугольника.

Подставив значения, получаем: \(S = \frac{a \cdot \frac{a}{3}}{2} = \frac{a^2}{6}\).

Теперь сложим площади всех трех видов фигур:

\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = 3 \cdot S_{\text{квадрата}} + 6 \cdot S_{\text{прямоугольника}} + 3 \cdot S_{\text{треугольника}}\]

\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = 3 \cdot \frac{a^2}{9} + 6 \cdot \frac{a^2}{3} + 3 \cdot \frac{a^2}{6}\]

\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = \frac{a^2}{3} + 2a^2 + \frac{a^2}{2}\]

\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = \frac{10a^2}{6}\]

Таким образом, площадь закрашенной фигуры составляет \(\frac{10a^2}{6}\) часть площади исходного четырехугольника.