Какая длина стороны AC в треугольнике ABC, если известно, что AB = 1.98 * √6 и углы B и C равны 45°

Polyarnaya

13

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Дано, что сторона AB равна 1.98√6 и углы B и C равны 45° и 60° соответственно.

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами соответствующих углов:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a, b, и c - длины сторон треугольника, а A, B, и C - соответствующие углы.

Мы ищем длину стороны AC, поэтому обозначим ее за c. Также известны углы B и C и сторона AB.

Для начала найдем угол A. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол A равен:

A = 180° - B - C
A = 180° - 45° - 60°
A = 75°

Зная угол A и сторону AB, можем применить теорему синусов:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

\[\frac{1.98√6}{\sin 75°} = \frac{c}{\sin 60°}\]

Для решения этого уравнения, нам понадобится найти значение синуса 75°.

Используя тригонометрический круг, мы находим, что \(\sin 75° = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}}\)

Теперь мы можем решить уравнение:

\[\frac{1.98√6}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}}} = \frac{c}{\sin 60°}\]

\[\frac{1.98√6}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

c = \(\frac{1.98√6}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\)

c = \(1.98√6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

c = \(1.98 \cdot 2 \cdot \frac{√6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

c = \(3.96 \cdot \frac{√6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

Упрощая это выражение, получим:

c = \(3.96 \cdot \frac{√6}{√3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

c = \(3.96 \cdot \frac{√6}{√3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

c = \(3.96 \cdot \frac{√6}{√3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

Используя десятичное приближение, мы можем найти численное значение стороны AC:

c ≈ 2.76

Таким образом, длина стороны AC в треугольнике ABC составляет около 2.76.