18. Каково расстояние между основаниями наклонных углов, если точка находится на расстоянии 24 см от плоскости и углы

Pavel

26

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и подобие прямоугольных треугольников.

Воспользуемся обозначениями:
\(x\) - расстояние между основаниями наклонных углов
\(a\) - проекция первого наклонного угла на плоскость (18 см)
\(b\) - проекция второго наклонного угла на плоскость (32 см)
\(c\) - длина отрезка от точки до плоскости (24 см)
\(h\) - высота образованного треугольника, опущенная из точки на основание (для нахождения этого значения потребуется использовать подобие треугольников)

Сначала найдём высоту треугольника \(h\). Для этого воспользуемся подобием треугольников. Заметим, что треугольники, образованные проекциями наклонных углов на плоскость и треугольником, имеют одинаковый угол между ними (90 градусов) и различные катеты. Таким образом, треугольники подобны.

Применяя подобие треугольников, можем записать следующее соотношение:

\[\frac{{h}}{{a - b}} = \frac{{c}}{{a}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{h}}{{18 - 32}} = \frac{{24}}{{18}}\]

Теперь найдём значение высоты \(h\):

\[h = \frac{{24 \cdot (18 - 32)}}{{18}} = -\frac{{24 \cdot 14}}{{18}} = -14\frac{2}{3} \, \text{{см}}\]

Заметим, что значение высоты получилось отрицательным, что говорит о том, что треугольник находится на плоскости ниже точки. Но по условию задачи мы знаем, что точка находится выше плоскости, поэтому возьмём модуль значения высоты, чтобы получить положительное число:

\[h = | -\frac{{24 \cdot 14}}{{18}} | = \frac{{24 \cdot 14}}{{18}} = \frac{{336}}{{18}} = 18,6667 \, \text{{см}}\]

Теперь, чтобы найти расстояние между основаниями наклонных углов \(x\), воспользуемся теоремой Пифагора:

\[x^2 = a^2 + b^2\]

Подставим известные значения:

\[x^2 = 18^2 + 32^2\]

Вычислим значение:

\[x^2 = 324 + 1024 = 1348\]

Чтобы найти значение \(x\), возьмём квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[x = \sqrt{1348} \approx 36,7499\]
\[x \approx 36,7499 \, \text{{см}}\]

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных углов составляет около 36,75 см.

Приложение к ответу:

   |\

  h| \

   |  \

   |   \

   |____\

    a    b

На рисунке показаны основания наклонных углов, отрезок \(h\) -- высота треугольника, проведённая из точки на плоскость, а также проекции \(a\) и \(b\) наклонных углов на плоскость.