Какая длина стороны основания пирамиды, если в правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 3 и тангенс угла

Тарас

60

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о правильной шестиугольной пирамиде и тригонометрии. Давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.
Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В правильной пирамиде, высота проходит через центр основания и делит его на две равные части.

Так как пирамида правильная, то угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов (так как в шестиугольнике каждый угол равен 120 градусов, и половина этого угла равна 60 градусам).

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, противолежащим катетом является высота пирамиды, а прилежащим катетом является половина стороны основания.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение по определению тангенса:

\[\tan(60^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{\frac{{\text{{сторона основания}}}}{2}}}\]

Тангенс 60 градусов равен \(\sqrt{3}\). Подставим это значение в уравнение:

\[\sqrt{3} = \frac{{\text{{высота}}}}{{\frac{{\text{{сторона основания}}}}{2}}}\]

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.
Домножим оба выражения на \(\frac{{\text{{сторона основания}}}}{2}\) и решим уравнение относительно высоты:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{{\text{{сторона основания}}}}{2} = \text{{высота пирамиды}}\]

\[\frac{{\sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}}}}{4} = \text{{высота пирамиды}}\]

Теперь у нас есть выражение для высоты пирамиды.

Шаг 3: Найдем длину стороны основания.
В прямоугольном треугольнике сугубо хорошо известны две стороны и угол между ними. Мы можем использовать тангенс для решения этой задачи.

Мы уже знаем, что тангенс угла равен \(\sqrt{3}\), а противолежащей стороной является высота пирамиды. Прилежащей стороной будет сторона основания.

\[\tan(\text{{угол между боковой гранью и плоскостью основания}}) = \frac{{3}}{{\text{{сторона основания}}}}\]

Подставляем значение тангенса и известные значения и решим уравнение:

\[\sqrt{3} = \frac{{3}}{{\text{{сторона основания}}}}\]

\[\sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}} = 3\]

\[\text{{сторона основания}} = \frac{{3}}{{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\]

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна \(\sqrt{3}\).