Какая длина волны фотонов способна вызвать ионизацию электрона в атоме водорода с заданным радиусом орбиты?

Артемович

47

Чтобы определить длину волны фотонов, способную вызвать ионизацию электрона в атоме водорода, мы можем использовать энергетическое уравнение, связанное с атомной структурой и переходами электронов между уровнями энергии. Это уравнение называется формулой Ридберга.

Формула Ридберга выглядит следующим образом:

\[
\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)
\]

где \(\lambda\) - длина волны фотона, \(R\) - постоянная Ридберга (\(1.097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}\)), \(n_1\) - начальный уровень энергии электрона (в данном случае для ионизации поставим \(n_1 = 1\)), и \(n_2\) - конечный уровень энергии электрона (коэффициенты, определяющие орбиту электрона, могут принимать целые положительные значения).

Орбита электрона в атоме водорода имеет радиус, заданный условием. Если в задаче дан радиус орбиты электрона, мы можем использовать это значение, чтобы определить значение конечного уровня энергии \(n_2\) (при условии, что электрон переходит с этой орбиты в состояние ионизации, т.е. бесконечно удаленный уровень энергии). Зная радиус орбиты, мы можем использовать эмпирическое соотношение:

\[
r = \frac{{a_0}}{{n^2}}
\]

где \(r\) - радиус орбиты электрона, \(a_0\) - боровский радиус (\(5.29 \times 10^{-11} \, \text{м}\)), и \(n\) - номер орбиты. Решив это соотношение для \(n\), мы найдем значение орбиты с заданным радиусом.

Теперь у нас есть значения для \(n_1\) и \(n_2\), и мы можем подставить их в формулу Ридберга, чтобы определить длину волны фотона.

Давайте проиллюстрируем это на примере: пусть задан радиус орбиты электрона \(r = 5 \times 10^{-11} \, \text{м}\). Мы выразим \(n\) из формулы для радиуса орбиты:

\[
n = \sqrt{\frac{{a_0}}{{r}}}
\]

\[
n = \sqrt{\frac{{5.29 \times 10^{-11} \, \text{м}}}{5 \times 10^{-11} \, \text{м}}}
\]

\[
n \approx 1
\]

Получается, что электрон находится на первой орбите. Теперь рассчитаем длину волны фотона, вызывающую ионизацию:

\[
\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}\right)
\]

Так как \(\frac{1}{\infty^2}\) может быть считать бесконечно малым (по сравнению с \(\frac{1}{1^2}\)), можно сказать, что это значение становится пренебрежимо малым. Поэтому можно сказать, что:

\[
\frac{1}{\lambda} \approx R \left(\frac{1}{1^2} - 0\right)
\]

\[
\frac{1}{\lambda} \approx R
\]

Теперь найдем конечное значение длины волны фотона:

\[
\lambda \approx \frac{1}{R}
\]

\[
\lambda \approx \frac{1}{1.097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}}
\]

\[
\lambda \approx 9.11 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]

Таким образом, длина волны фотонов, способная вызвать ионизацию электрона в атоме водорода с заданным радиусом орбиты, составляет примерно \(9.11 \times 10^{-8}\) метров.