Какая длина волны фотонов способна вызвать ионизацию электрона в атоме водорода с заданным радиусом орбиты?

Артемович

47

Чтобы определить длину волны фотонов, способную вызвать ионизацию электрона в атоме водорода, мы можем использовать энергетическое уравнение, связанное с атомной структурой и переходами электронов между уровнями энергии. Это уравнение называется формулой Ридберга.

Формула Ридберга выглядит следующим образом:

$$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$$

где $\lambda$ - длина волны фотона, $R$ - постоянная Ридберга ($1.097\times {10}^7{\text{м}}^{-1}$), $n_1$ - начальный уровень энергии электрона (в данном случае для ионизации поставим $n_1=1$), и $n_2$ - конечный уровень энергии электрона (коэффициенты, определяющие орбиту электрона, могут принимать целые положительные значения).

Орбита электрона в атоме водорода имеет радиус, заданный условием. Если в задаче дан радиус орбиты электрона, мы можем использовать это значение, чтобы определить значение конечного уровня энергии $n_2$ (при условии, что электрон переходит с этой орбиты в состояние ионизации, т.е. бесконечно удаленный уровень энергии). Зная радиус орбиты, мы можем использовать эмпирическое соотношение:

$$r=\frac{a_0}{n^2}$$

где $r$ - радиус орбиты электрона, $a_0$ - боровский радиус ($5.29\times {10}^{-11}\text{м}$), и $n$ - номер орбиты. Решив это соотношение для $n$, мы найдем значение орбиты с заданным радиусом.

Теперь у нас есть значения для $n_1$ и $n_2$, и мы можем подставить их в формулу Ридберга, чтобы определить длину волны фотона.

Давайте проиллюстрируем это на примере: пусть задан радиус орбиты электрона $r=5\times {10}^{-11}\text{м}$. Мы выразим $n$ из формулы для радиуса орбиты:

$$n=\sqrt{\frac{a_0}{r}}$$

$$n=\sqrt{\frac{5.29\times {10}^{-11}\text{м}}{5\times {10}^{-11}\text{м}}}$$

$$n\approx 1$$

Получается, что электрон находится на первой орбите. Теперь рассчитаем длину волны фотона, вызывающую ионизацию:

$$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{{\mathrm{\infty }}^2})$$

Так как $\frac{1}{{\mathrm{\infty }}^2}$ может быть считать бесконечно малым (по сравнению с $\frac{1}{1^2}$), можно сказать, что это значение становится пренебрежимо малым. Поэтому можно сказать, что:

$$\frac{1}{\lambda }\approx R(\frac{1}{1^2}-0)$$

$$\frac{1}{\lambda }\approx R$$

Теперь найдем конечное значение длины волны фотона:

$$\lambda \approx \frac{1}{R}$$

$$\lambda \approx \frac{1}{1.097\times {10}^7{\text{м}}^{-1}}$$

$$\lambda \approx 9.11\times {10}^{-8}\text{м}$$

Таким образом, длина волны фотонов, способная вызвать ионизацию электрона в атоме водорода с заданным радиусом орбиты, составляет примерно $9.11\times {10}^{-8}$ метров.