Какая доля поверхности сферы освещается светящейся точкой, находящейся на расстоянии 45 см от сферы, если радиус сферы

Lizonka

38

У нас есть сфера с радиусом 45 см и светящаяся точка, которая находится на расстоянии 45 см от сферы. Задача состоит в том, чтобы найти долю поверхности сферы, которая будет освещена этой точкой.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать геометрические свойства сферы. Пусть P - это точка на поверхности сферы, а O - центр сферы. Расстояние между точкой P и центром сферы O равно радиусу сферы, то есть 45 см.

Чтобы найти долю поверхности, освещаемую точкой P, мы должны определить угол, под которым точка P видна с центра сферы O. Для этого мы можем использовать теорему косинусов для треугольника OPG, где G - это точка на линии, соединяющей центр сферы O и точку P.

Применим теорему косинусов:

\[OP^2 = OG^2 + PG^2 - 2 \cdot OG \cdot PG \cdot \cos(\angle OPG)\]

У нас есть информация, что OG (радиус сферы) равен 45 см, а PG (расстояние между точкой на поверхности сферы и ее центром) также равен 45 см. Подставим эти значения в уравнение:

\[45^2 = 45^2 + 45^2 - 2 \cdot 45 \cdot 45 \cdot \cos(\angle OPG)\]

Упростим это уравнение:

\[2025 = 2025 + 2025 - 2 \cdot 45 \cdot 45 \cdot \cos(\angle OPG)\]

\[0 = 4050 - 2 \cdot 45 \cdot 45 \cdot \cos(\angle OPG)\]

Теперь найдем значение угла \(\angle OPG\):

\[\cos(\angle OPG) = \frac{4050}{2 \cdot 45 \cdot 45}\]

\[\cos(\angle OPG) = \frac{45}{45} = 1\]

Мы получили, что \(\cos(\angle OPG) = 1\), что означает, что угол \(\angle OPG\) равен 0 градусов. Это означает, что точка P видна с центра сферы под прямым углом. Таким образом, доля поверхности сферы, освещаемая точкой P, составляет 0%.

Теперь давайте рассмотрим вопрос о том, как изменится ответ в зависимости от изменения длины радиуса сферы. Если мы увеличим или уменьшим радиус сферы, то все еще будет выполняться условие, что точка P находится на расстоянии 45 см от сферы. Значит, ответ останется неизменным и доля поверхности, освещаемая точкой P, все равно будет составлять 0%.