Какая должна быть площадь поперечного сечения прутка из алюминия для подвески люстры массой 250 кг с пределом прочности

Busya

48

Для решения этой задачи воспользуемся формулой из сопротивления материалов, которая связывает допускаемое напряжение, площадь поперечного сечения и силу, действующую на материал.

Допускаемое напряжение \( \sigma_{\text{доп}} \) связано со силой \( F \), действующей на материал, площадью поперечного сечения \( A \) и коэффициентом запаса прочности \( n \) следующим образом:

\[ \sigma_{\text{доп}} = \dfrac{F}{A} \times n \]

Из условия задачи известно, что масса люстры \( m = 250 \) кг, ускорение свободного падения \( g = 9.81 \, \text{м/c}^2 \) и предел прочности материала \( \sigma_{\text{пр}} = 0.11 \, \text{ГПа} = 110 \, \text{МПа} \).

Сила, действующая на материал, равна силе тяжести, действующей на люстру:

\[ F = m \times g = 250 \, \text{кг} \times 9.81 \, \text{м/c}^2 \]

Теперь, зная допускаемое напряжение, предел прочности и коэффициент запаса прочности, можно выразить площадь поперечного сечения:

\[ A = \dfrac{F}{\sigma_{\text{доп}} \times n} \]

\[ A = \dfrac{250 \, \text{кг} \times 9.81 \, \text{м/c}^2}{110 \, \text{МПа} \times 4} \]

\[ A = \dfrac{2452.5}{440} \times 10^{-6} = 5.58 \times 10^{-3} \, \text{м}^2 \]

Таким образом, площадь поперечного сечения прутка должна быть \( 5.58 \times 10^{-3} \, \text{м}^2 \).

Далее, чтобы найти относительное удлинение прутка, воспользуемся законом Гука, который описывает связь напряжения и деформации в упругих телах:

\[ \sigma = E \times \varepsilon \]

Где \( E \) - модуль Юнга, \( \varepsilon \) - относительное удлинение.

Относительное удлинение можно найти по формуле:

\[ \varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} \]

Для алюминия модуль Юнга \( E = 70 \, \text{ГПа} = 70 \times 10^3 \, \text{МПа} \), поэтому:

\[ \varepsilon = \dfrac{110 \times 10^6 \, \text{Па}}{70 \times 10^3 \, \text{МПа}} = 1571.43 \times 10^{-6} = 0.00157143 \]

Ответ: Площадь поперечного сечения прутка должна быть \( 5.58 \times 10^{-3} \, \text{м}^2 \), относительное удлинение составит \( 0.00157143 \), или примерно \( 0.157\% \).