Какая формула используется для расчета длины дуги линии, определенной уравнениями x=4cos^3 t, y=4sin^3

Вечный_Мороз

51

Формула, используемая для расчета длины дуги кривой, заданной в полярных координатах, имеет следующий вид:

\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta \]

где \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - начальный и конечный углы, при которых задана кривая,
\(r\) - радиус-вектор, заданный в полярных координатах, и
\(\frac{dr}{d\theta}\) - производная радиус-вектора по углу \(\theta\).

Для данной задачи, у нас задана кривая с параметрическими уравнениями \(x = 4\cos^3(t)\) и \(y = 4\sin^3(t)\). Чтобы использовать формулу для расчета длины дуги, мы должны представить эти уравнения в полярных координатах.

Используя соотношение между прямоугольными и полярными координатами \(x = r\cos(\theta)\) и \(y = r\sin(\theta)\), мы можем выразить \(r\) через \(x\) и \(y\):

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Также, нам понадобится выразить \(t\) через \(\theta\), для этого, используем \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\).

Подставляя выражения для \(x\) и \(y\) в выражение для \(r\), получаем:

\[ r = \sqrt{(4\cos^3(t))^2 + (4\sin^3(t))^2} \]

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

\[ r = \sqrt{16\cos^6(t) + 16\sin^6(t)} \]

Теперь нам нужно выразить \(\frac{dr}{d\theta}\) через \(t\). Для этого используем цепное правило дифференцирования:

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{dr}{dt} \cdot \frac{dt}{d\theta} \]

Нам известно, что \(\frac{dx}{dt} = -12\cos^2(t)\sin(t)\) и \(\frac{dy}{dt} = 12\cos(t)\sin^2(t)\). Подставляя эти значения в формулу для \(\frac{dr}{dt}\), получаем:

\[ \frac{dr}{dt} = \sqrt{\left(-12\cos^2(t)\sin(t)\right)^2 + \left(12\cos(t)\sin^2(t)\right)^2} \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ \frac{dr}{dt} = \sqrt{144\cos^4(t)\sin^2(t) + 144\cos^2(t)\sin^4(t)} \]

Теперь, нам нужно выразить \(\frac{dt}{d\theta}\) через \(t\). Используя \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\), можно найти \(\frac{d\theta}{dt}\):

\[ \frac{d\theta}{dt} = \frac{\frac{d\theta}{dt}}{\frac{dt}{dt}} = \frac{\frac{1}{\frac{dy}{dt}}}{\frac{1}{\frac{dx}{dt}}} = \frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}} = \frac{-12\cos^2(t)\sin(t)}{12\cos(t)\sin^2(t)} = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)} \]

Теперь, когда мы имеем выражения для \(r\) и \(\frac{dr}{d\theta}\) через \(t\), можем использовать формулу для расчета длины дуги:

\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} dt \]

где \(t_1\) и \(t_2\) - начальное и конечное значения \(t\), соответственно.

Однако, для полного решения задачи, необходимо указать начальные и конечные значения \(t\) (то есть \(t_1\) и \(t_2\)). Это даст нам конкретную длину дуги, которую нужно вычислить по данному уравнению. Вы можете предоставить значения \(t_1\) и \(t_2\), и я помогу вам с расчетами и получением окончательного ответа.