Какая индукция магнитного поля будет создаваться током 3 А в точке О на плоском контуре из тонкого провода с радиусом

Загадочный_Сокровище

6

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа, который утверждает, что магнитное поле \(B\) на расстоянии \(r\) от токового элемента равно произведению постоянной магнитной проницаемости свободного пространства \(μ_0\) на величину тока \(I\) в элементе цепи и элементарную длину \(ds\) элемента цепи, умноженную на синус угла \(\theta\) между вектором радиуса расстояния от элемента цепи до точки О и элементом цепи.

Математически, это можно записать следующим образом:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{s} \times \vec{r}} {r^2}\]

где \(\mu_0\) - постоянная магнитная проницаемость свободного пространства (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\)),
\(I\) - ток в элементе цепи, \(d\vec{s}\) - элементарный вектор длины элемента цепи, \(\vec{r}\) - вектор радиуса расстояния от элемента цепи до точки О, а \(r\) - модуль вектора \(\vec{r}\).

Чтобы найти магнитное поле в точке О, нам нужно проинтегрировать выражение \(d\vec{B}\) по всем элементам контура. Так как плоский контур представляет собой круг радиусом \(R\), мы можем выразить элементарный вектор длины \(d\vec{s}\) и вектор радиуса \(\vec{r}\) в полярных координатах:

\[d\vec{s} = R d\theta \hat{\theta}\]
\[\vec{r} = R \hat{r}\]

где \(d\theta\) - элементарный угол радианной меры, \(\hat{\theta}\) - единичный вектор, направленный вдоль контура, и \(\hat{r}\) - единичный вектор, направленный от элемента контура к точке О.

Подставляя это в выражение для \(d\vec{B}\), получаем:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (R d\theta \hat{\theta}) \times (R \hat{r})} {R^2}\]

Теперь можем упростить это выражение:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I R^2 \sin \theta}{R^2} d\theta \hat{r} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \sin \theta d\theta \hat{r}\]

Применяя интеграл для суммирования всех элементов контура, получаем:

\[\vec{B} = \int d\vec{B} = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0}{4\pi} I\sin \theta d\theta \hat{r}\]

Сокращая постоянные и интегрируя, имеем:

\[\vec{B} = \left[ -\frac{\mu_0}{4} \cos \theta \right]_0^{2\pi} I \hat{r} = -\mu_0 I \hat{r}\]

Таким образом, индукция магнитного поля, создаваемого током 3 А в точке О на плоском контуре с радиусом \(R=20\) будет равна:

\[\vec{B} = -\mu_0 I \hat{r} = -4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м \cdot 3 \, А \cdot \hat{r} = -12\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot \hat{r}\]

где \(\hat{r}\) - единичный вектор, направленный от центра контура к точке О.