Какая индукция магнитного поля создается током 3 А на точке О плоского контура из тонкого провода, имеющего радиус

Лапка

11

Чтобы определить индукцию магнитного поля, создаваемого током в контуре, мы можем использовать формулу Био-Савара-Лапласа. Эта формула описывает магнитное поле, создаваемое элементом тока в проводнике.

Формула Био-Савара-Лапласа выглядит следующим образом:

\[d\mathbf{B}=\frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{r}}}{{r^3}}\]

Где:
- \(d\mathbf{B}\) - магнитное поле, создаваемое элементом тока,
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,Тл/А\cdotм\)),
- \(I\) - сила тока,
- \(d\mathbf{l}\) - векторный элемент длины проводника,
- \(\mathbf{r}\) - вектор, указывающий на точку, где мы хотим вычислить магнитное поле,
- \(r\) - расстояние от элемента тока до точки, где мы хотим вычислить магнитное поле.

Итак, чтобы определить индукцию магнитного поля на точке О, создаваемого током в контуре, мы должны проинтегрировать выражение для \(d\mathbf{B}\) для всех элементов проводника контура.

Но перед тем, как мы начнем интегрирование, нам необходимо знать форму контура. По вашему описанию, контур имеет форму круга с радиусом \(R = 20\,см\). Для удобства интегрирования, давайте выберем систему координат, в которой ось z направлена вдоль контура, а начало координат находится в точке О.

Мы можем представить элемент длины проводника в виде вектора \(d\mathbf{l} = R\,d\theta\,\mathbf{e}_\theta\). Здесь \(d\theta\) - элемент угла, а \(\mathbf{e}_\theta\) - единичный вектор, направленный по касательной к кругу в положительном направлении угла.

Теперь мы можем вычислить магнитное поле на точке О. Давайте выберем точку О на оси z и пусть \(z = 0\). Тогда \(\mathbf{r} = R\,\mathbf{e}_z\), а расстояние \(r = |\mathbf{r}| = R\).

Подставляя все это в формулу Био-Савара-Лапласа, получим:

\[
d\mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\,R\,d\theta\,\mathbf{e}_\theta\times R\,\mathbf{e}_z}}{{R^3}} = \frac{{\mu_0\,I}}{{4\pi\,R^2}}\,d\theta\,\mathbf{e}_\phi
\]

Здесь \(\mathbf{e}_\phi\) - единичный вектор направленный по кругу в плоскости Oxy.

Теперь мы можем проинтегрировать \(d\mathbf{B}\) по всем значениям \(\theta\) от 0 до \(2\pi\), чтобы получить общую индукцию магнитного поля в точке О. Заметим, что интеграл от \(d\theta\) по всем значениям угла \(\theta\) в круге равен \(2\pi\). Итак, интегрируя, получим:

\[
\mathbf{B} = \int d\mathbf{B} = \int_0^{2\pi} \frac{{\mu_0\,I}}{{4\pi\,R^2}}\,d\theta\,\mathbf{e}_\phi = \frac{{\mu_0\,I}}{{4\pi\,R^2}}\int_0^{2\pi} d\theta\,\mathbf{e}_\phi = \frac{{\mu_0\,I}}{{4\pi\,R^2}}\,2\pi\,\mathbf{e}_\phi
\]

Итак, получается:

\[
\mathbf{B} = \frac{{\mu_0\,I}}{{2\,R}}\,\mathbf{e}_\phi
\]

Теперь у нас есть закон, который определяет индукцию магнитного поля в точке О в плоском контуре с током \(I\) и радиусом \(R\). Вы можете использовать этот закон для вычисления индукции магнитного поля в вашей задаче, подставляя значения силы тока и радиуса контура.

Важно отметить, что этот ответ справедлив только для оси z, проходящей через центр контура. В других точках поля будут отличаться.