Какая из наборов векторов может быть фундаментальной системой решений для некоторой однородной системы линейных

Alisa

57

Чтобы определить, какой из наборов векторов может быть фундаментальной системой решений для некоторой однородной системы линейных уравнений, нам необходимо следить за двумя основными критериями: линейной независимостью и количеством векторов в наборе.

Линейная независимость означает, что ни один вектор нельзя выразить линейной комбинацией других векторов из набора. Если все векторы в наборе линейно независимы, то этот набор может быть фундаментальной системой решений.

Количество векторов в фундаментальной системе решений должно быть равно количеству неизвестных переменных в системе линейных уравнений. Если количество векторов в наборе меньше, то он не может быть фундаментальной системой решений.

Теперь давайте рассмотрим каждый набор векторов по очереди:

1. (1,2), (3,6)
Давайте проверим, линейно ли независимы эти векторы. Мы заметим, что первый вектор является кратным второго вектора, так как (1,2) = 2*(0.5,1), что показывает, что векторы линейно зависимы. Их нельзя рассматривать как фундаментальную систему решений, так как они не являются линейно независимыми.

2. (0,0), (1,2)
Второй набор векторов содержит нулевой вектор, который линейно зависим с любым другим вектором. Поэтому этот набор также не может быть фундаментальной системой решений.

3. (1,-2), (2,3), (3,1)
Теперь давайте проверим, линейно ли независимы эти векторы. Мы можем найти определитель матрицы из этих векторов и проверить, равен ли он нулю. Если определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы.

\[
\begin{vmatrix}
1 & -2 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (-2 \cdot 2) = 3 + 4 = 7 \neq 0
\]

Так как определитель равен 7, векторы (1,-2) и (2,3) линейно независимы. Поскольку количество векторов (2) соответствует количеству неизвестных переменных в системе, этот набор может быть фундаментальной системой решений.

4. (-1, 1)
Поскольку этот набор состоит из одного вектора, он не может быть фундаментальной системой решений, так как не содержит достаточное количество векторов для решения системы линейных уравнений.

Таким образом, из всех вариантов только набор векторов (1,-2), (2,3), (3,1) может быть фундаментальной системой решений для некоторой однородной системы линейных уравнений.