Какая линия образуется при пересечении данной плоскости с плоскостью, проведенной через прямую

Звездная_Галактика

65

Если дана плоскость и прямая, и вам нужно найти линию, образованную их пересечением, давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдите точку пересечения прямой и плоскости.
Для этого мы используем систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения плоскости. Пусть уравнение прямой будет \(L: \begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \\ z = z_1 + ct \end{cases}\), где \((x_1, y_1, z_1)\) - координаты произвольной точки на прямой \(L\), а \(a\), \(b\), \(c\) - параметры прямой. А уравнение плоскости будем обозначать как \(P: Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) - коэффициенты плоскости.

Подставим значения из уравнения прямой в уравнение плоскости и решим полученную систему уравнений относительно \(t\). Это позволит найти точку пересечения прямой и плоскости, которая будет лежать на искомой линии.

Шаг 2: Найдите направляющий вектор линии.
Направляющий вектор линии будет определяться разностью координат точки пересечения и координат начальной точки прямой. Полученный вектор будет параллельным линии, образованной пересечением.

Шаг 3: Запишите параметрическое уравнение линии.
Используя найденную начальную точку и направляющий вектор, можно записать параметрическое уравнение линии в виде:
\[L": \begin{cases} x = x_0 + bt \\ y = y_0 + ct \\ z = z_0 + dt \end{cases},\]
где \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты точки пересечения, а \(b\), \(c\), \(d\) - направляющие коэффициенты.

Таким образом, линия, образованная пересечением заданной плоскости и плоскости, проведенной через прямую, будет задаваться параметрическим уравнением \(L"\), полученным на шаге 3.