Какая максимальная площадь может быть у параллелограмма с одной стороной длиной 6 см и диагональю?

Летучий_Мыш

19

Чтобы найти максимальную площадь параллелограмма с заданными условиями, мы должны понять, как связаны его стороны и углы.

Для начала вспомним, что параллелограмм имеет две пары равных противоположных сторон и две пары равных противоположных углов. Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, которые имеют общую сторону - длиной 6 см.

Пусть длина другой стороны параллелограмма будет \(x\) см. Тогда зная длину одной стороны и диагонали, мы можем найти длину второй стороны, используя теорему Пифагора для треугольника:

\[
h^2 = d^2 - a^2
\]

где \(h\) - высота треугольника, \(d\) - диагональ параллелограмма и \(a\) - длина одной стороны параллелограмма.

В нашем случае длина диагонали равна длине стороны, поскольку мы знаем только одну сторону и диагональ. Таким образом, у нас получается:

\[
h^2 = 6^2 - a^2
\]

\[
h^2 = 36 - a^2
\]

Так как высота треугольника равна длине противоположной стороны параллелограмма, у нас есть следующее:

\[
h = x
\]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать формулу:

\[
S = a \cdot h
\]

Подставив значение \(h\) в это уравнение, мы получаем:

\[
S = a \cdot x
\]

Но у нас также есть связь межу \(a\) и \(h\):

\[
h^2 = 36 - a^2
\]

\[
x^2 = 36 - a^2
\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[
S = a \cdot x
\]

\[
x^2 = 36 - a^2
\]

Мы можем найти максимальную площадь, найдя максимум функции площади \(S\) относительно переменной \(a\).

Для этого нам потребуется найти производную площади \(S\) по \(a\) и приравнять ее к нулю:

\[
\frac{dS}{da} = x + a \cdot \frac{dx}{da} = 0
\]

Так как \(x^2 = 36 - a^2\), мы можем найти \(\frac{dx}{da}\):

\[
2x \cdot \frac{dx}{da} = -2a
\]

\[
\frac{dx}{da} = -\frac{a}{x}
\]

Теперь подставим значение \(\frac{dx}{da}\) в первое уравнение:

\[
x + a \cdot (-\frac{a}{x}) = 0
\]

Упростим это выражение:

\[
x - \frac{a^2}{x} = 0
\]

Умножим оба части на \(x\):

\[
x^2 - a^2 = 0
\]

Теперь заменим \(x^2\) на \(36 - a^2\), так как они равны:

\[
36 - a^2 - a^2 = 0
\]

Упростим это выражение:

\[
2a^2 = 36
\]

\[
a^2 = 18
\]

\[
a = \sqrt{18} \approx 4.24 \text{ см}
\]

Теперь мы можем найти значение \(x\):

\[
x^2 = 36 - a^2
\]

\[
x^2 = 36 - 18
\]

\[
x^2 = 18
\]

\[
x = \sqrt{18} \approx 4.24 \text{ см}
\]

Таким образом, максимальная площадь параллелограмма с одной стороной длиной 6 см и диагональю равна:

\[
S = a \cdot x = \sqrt{18} \cdot \sqrt{18} = 18 \text{ квадратных см}
\]