Как можно выразить вектор DA с использованием векторов a = AC и b в трапеции ABCD, где длина основания AD в два раза

Заблудший_Астронавт_309

44

Прежде чем выразить вектор DA через векторы a и b, давайте разберем геометрическую ситуацию. Мы имеем трапецию ABCD, где основание AD имеет длину, дважды превышающую длину основания BC. Представим векторы a и b следующим образом:

\(\overrightarrow{a} = \vec{AC}\)
\(\overrightarrow{b} = \vec{CB}\)

Теперь, давайте построим параллелограмм ACBE, где точка E будет находиться на продолжении вектора a, за точкой C. Добавление вектора b к вектору AC позволит нам достичь точки E:

\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\)

Теперь, обратите внимание, что мы можем использовать свойство параллелограмма: диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Таким образом, вектор DE будет равен вектору BA:

\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BA}\)

Однако, поскольку вектор DE является разностью векторов AE и AD, мы можем записать следующее:

\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}\)

Подставляя значения векторов, получим:

\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AD}\)

Теперь мы можем переставить слагаемые:

\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}\)

Наконец, обратите внимание, что вектор AD является противоположным вектору DA, т.е. \(\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA}\). Подставляя это в уравнение:

\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA}\)

Или, переупорядочивая слагаемые:

\(\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}\)

Таким образом, мы выразили вектор DA с использованием векторов a = AC и b = CB:

\(\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}\)