Какая обратная функция для y=x^2-3 при условии x≥0? Требуется построить графики обеих функций

Сладкий_Пират

35

Для начала рассмотрим заданную функцию: \( y = x^2 - 3 \).

Мы хотим найти обратную функцию для данной функции. Обратная функция является функцией, которая "отменяет" действие исходной функции, то есть принимает значение \( y \) и возвращает значение \( x \). Обозначим обратную функцию как \( f^{-1}(x) \).

Для нахождения обратной функции можно применить несколько шагов:

1. Замените \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \) в исходном уравнении функции:
\( x = y^2 - 3 \).

2. Решите полученное уравнение относительно \( y \). В данном случае это уравнение квадратного типа, поэтому мы можем применить методы решения квадратных уравнений.

Приравняем уравнение к нулю и распишем нашу формулу в стандартной форме:
\( y^2 - 3 - x = 0 \).

Применим квадратное уравнение к нашей формуле:
\( y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \).
Где \( a = 1 \), \( b = 0 \) и \( c = -3 - x \).

Подставим значения в формулу:
\( y = \frac{{\pm \sqrt{{0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - x)}}}}{{2 \cdot 1}} \).

Упростим выражение:
\( y = \frac{{\pm \sqrt{{12 + 4x}}}}{2} \).

Мы можем упростить дальше, разделив числитель и знаменатель на 2:
\( y = \frac{{\pm \sqrt{{12 + 4x}}}}{2} = \pm \frac{{\sqrt{{4 + x}}}}{2} \).

Обратим внимание на условие задачи, где указано, что \( x \geq 0 \), поэтому мы используем только положительное значение из нашего выражения. Таким образом, обратная функция будет выглядеть так:
\( f^{-1}(x) = \frac{{\sqrt{{4 + x}}}}{2} \), где \( x \geq 0 \).

Теперь перейдем к построению графиков обеих функций.

Для графика \( y = x^2 - 3 \), мы можем выбрать несколько значений для \( x \), вычислить соответствующие значения для \( y \) и нарисовать точки, соответствующие этим значениям. Затем мы проведем гладкую кривую через эти точки.

Для графика обратной функции \( f^{-1}(x) = \frac{{\sqrt{{4 + x}}}}{2} \), мы выберем несколько значений для \( x \geq 0 \), вычислим соответствующие значения для \( y \) и нарисуем точки и кривую.

Графики вместе будут выглядеть следующим образом:

\[ \includegraphics[scale=0.6]{graph.png} \]

Для построения графиков используйте координатную плоскость, где ось \( x \) отображает значения переменной \( x \), а ось \( y \) отображает значения переменной \( y \). Нарисуйте график функции \( y = x^2 - 3 \), используя точки, вычисленные в результате подстановки значений для \( x \) в функцию. Затем, используя график функции, построим график обратной функции \( f^{-1}(x) = \frac{{\sqrt{{4 + x}}}}{2} \), только для значений \( x \geq 0 \).

Надеюсь, это поможет вам понять, как найти обратную функцию и построить графики обеих функций. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задайте!