Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна и двугранный угол при ребре основания равен

Ветерок_1

29

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длину бокового ребра пирамиды.
Известно, что угол между боковым ребром и основанием пирамиды равен 30 градусам. Так как у нас треугольная пирамида, то это значит, что данный угол является углом в равностороннем треугольнике.
В равностороннем треугольнике все стороны равны. Поэтому, пусть длина бокового ребра равна \(a\).

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Так как пирамида — правильная треугольная пирамида, то высота будет проходить через центр основания и быть одновременно медианой и высотой.
Из геометрии равностороннего треугольника известно, что медиана делит его на два равных треугольника со сторонами, равными половине длины стороны треугольника.
Таким образом, высота \(h\) равна \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\).

Шаг 3: Найдем площадь каждой боковой грани пирамиды.
Площадь каждой боковой грани пирамиды можно найти по формуле площади треугольника, используя длину бокового ребра и высоту. Пусть \(S_{side}\) будет площадь каждой боковой грани.
\(S_{side} = \frac{1}{2} \times \text{длина основания} \times \text{высота}\)
\(S_{side} = \frac{1}{2} \times a \times h\)
\(S_{side} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}a}{2}\)
\(S_{side} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)

Шаг 4: Найдем площадь основания пирамиды.
Основание пирамиды - это правильный треугольник, для которого известна длина стороны \(a\).
Поэтому площадь основания \(S_{base}\) будет равна площади треугольника.
Так как это правильный треугольник, для него площадь можно найти по известной формуле: \(\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\).

Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды \(S_{total}\) равна сумме площадей всех ее боковых граней и площади основания.
Так как у нас треугольная пирамида, то у нее 4 боковые грани и 1 основание, поэтому:
\[S_{total} = 4 \times S_{side} + S_{base}\]
\[S_{total} = 4 \times \frac{\sqrt{3}a^2}{4} + \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\]
\[S_{total} = \sqrt{3}a^2 + \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\]
\[S_{total} = \frac{4\sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}a^2}{4}\]
\[S_{total} = \frac{5\sqrt{3}a^2}{4}\]

Итак, площадь полной поверхности данной пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{3}a^2}{4}\).