Какая площадь боковой поверхности у пирамиды, если известно, что общая площадь поверхности равна 50, а площадь

Папоротник

28

Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для площади поверхности пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды складывается из площади ее основания и площади боковой поверхности. Формула для площади боковой поверхности пирамиды выглядит следующим образом:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l, \]

где \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой поверхности,
\( p \) - периметр основания пирамиды,
\( l \) - длина образующей пирамиды.

Из условия задачи мы знаем, что общая площадь поверхности равна 50. Известно также, что площадь основания составляет a квадратных единиц.

Так как пирамида является правильной, периметр основания равен 4 раза длину стороны, то есть \( p = 4a \).

Подставим эти значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l. \]

Теперь нам необходимо выразить длину образующей пирамиды через известные величины. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного основанием пирамиды, половиной высоты и образующей:

\[ l^2 = a^2 + h^2, \]

где \( h \) - высота пирамиды.

Теперь нам необходимо найти значение высоты \( h \) пирамиды. Для этого воспользуемся формулой для площади поверхности пирамиды:

\[ S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}, \]

где \( S_{\text{пов}} \) - площадь поверхности пирамиды,
\( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды.

Подставим известные значения в это уравнение:

\[ 50 = a + \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l. \]

Теперь выразим длину образующей \( l \) через известные величины:

\[ l = \frac{50 - a}{2a}. \]

Вернемся к уравнению \( l^2 = a^2 + h^2 \) и подставим выражение для длины образующей:

\[ \left(\frac{50 - a}{2a}\right)^2 = a^2 + h^2. \]

Получим уравнение относительно высоты пирамиды \( h \).

Остается лишь выразить площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) через известные величины.

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \frac{50 - a}{2a}. \]

Произведем упрощение:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (50 - a) = 50 - a. \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 50 - a \) квадратных единиц.