Яка кількість діагоналей у призми з n-кутною основою?

Пугающий_Шаман

53

Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на простейший случай призмы с треугольной основой (т.е. треугольная призма). Затем мы обобщим нашу находку для призм с более сложными основами.

У треугольной призмы каждая вершина основы соединяется с каждой вершиной другой основы, кроме ближайших. Таким образом, у нас есть три диагонали - от каждой вершины одной основы до вершины другой основы. Геометрически это выглядит так:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & & \\
& | \ \ & & \\
& | \ \ & & \\
B & - - - - - & C & \text{ - основы призмы} \\
& | / \ & & \\
& |/ \ \ & & \\
& D & &
\end{array}
\]

Заметим, что каждая диагональ есть отрезок, соединяющий две вершины призмы. Так как основа треугольная, у нас есть три вершины на каждой основе, следовательно, три диагонали. Поэтому для треугольной призмы существует 3 диагонали.

Теперь давайте обобщим наше наблюдение для призмы с n-кутной основой. Для начала, заметим, что на каждой основе призмы есть n вершин. Каждая вершина одной основы соединяется с каждой вершиной другой основы, кроме ближайших. Таким образом, у нас есть n диагоналей - от каждой вершины одной основы до вершины другой основы. Поэтому для призмы с n-кутной основой количество диагоналей равно n.

\n

Итак, ответ на вашу задачу: количество диагоналей в призме с n-кутной основой равно n.