Какая площадь имеет ромб с вершинами, расположенными в точках (2; 5), (3; 3), (4; 5

Sladkaya_Siren

63

Чтобы найти площадь ромба с заданными вершинами, мы можем воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Для начала, давайте найдем координаты середины диагоналей.

Первая диагональ ромба проходит через вершины (2; 5) и (4; 5). Чтобы найти середину этой диагонали, нужно найти среднее арифметическое их x-координат и среднее арифметическое их y-координат. В данном случае, это будет \(\left(\frac{{2+4}}{2}; \frac{{5+5}}{2}\right) = (3; 5)\).

Вторая же диагональ ромба проходит через вершины (3; 3) и (4; 5). По аналогичным принципам, координаты середины этой диагонали будут \(\left(\frac{{3+4}}{2}; \frac{{3+5}}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}; 4\right)\).

Теперь, когда мы нашли координаты середин диагоналей, можем найти их длины. Для этого, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}\]

Для первой диагонали, используя координаты (3; 5) и (2; 5), получим:

\[d_1 = \sqrt{{(2-3)^2 + (5-5)^2}} = \sqrt{{1^2 + 0^2}} = \sqrt{{1}} = 1\]

Для второй диагонали, используя координаты \(\left(\frac{7}{2}; 4\right)\) и (3; 3), получим:

\[d_2 = \sqrt{{\left(3-\frac{7}{2}\right)^2 + (3-4)^2}} = \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{\frac{1}{4} + 1}} = \sqrt{{\frac{5}{4}}} = \frac{{\sqrt{{5}}}}{2}\]

Теперь, у нас есть значения обеих диагоналей: \(d_1 = 1\) и \(d_2 = \frac{{\sqrt{{5}}}}{2}\). Чтобы найти площадь ромба, перемножим эти значения и поделим полученный результат на 2:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{2} = \frac{{\sqrt{5}}}{4}\]

Итак, площадь ромба с вершинами (2; 5), (3; 3), и (4; 5) равна \(\frac{{\sqrt{5}}}{4}\) или примерно 0.559 единицы площади (если координаты указаны в каких-то конкретных единицах меры).