Какая площадь листа ватмана, если Ваня разрезал его на две прямоугольные части, периметры которых составляют 80 см

Маруся

45

Представим, что размеры оригинального прямоугольного листа ватмана равны \(x\) и \(y\). Если мы разрезаем лист на две прямоугольные части, то получаем два новых прямоугольника.

Дано, что периметры новых прямоугольников равны 80 см и 90 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[P = 2 \times (a + b)\]

где \(P\) - периметр прямоугольника, а \(a\) и \(b\) - его стороны.

Из условия задачи, у нас есть два уравнения:

\[2 \times (a_1 + b_1) = 80\]
\[2 \times (a_2 + b_2) = 90\]

Обратите внимание, что \(a_1\) и \(b_1\) - размеры первой части листа, а \(a_2\) и \(b_2\) - размеры второй части.

Также, нам известно, что периметр целого листа равнялся \(P_{\text{целого}}\). Для нахождения периметра целого листа, необходимо сложить все его стороны:

\[P_{\text{целого}} = 2 \times (x + y)\]

Теперь, когда у нас есть система уравнений, мы можем решить ее, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Решим первое уравнение относительно \(a_1\):

\[a_1 = \frac{80}{2} - b_1\]

Подставим значение \(a_1\) во второе уравнение:

\[2 \times \left(\frac{80}{2} - b_1\right) + 2 \times b_2 = 90\]

Раскроем скобки:

\[80 - 2b_1 + 2b_2 = 90\]

Упростим уравнение:

\[-2b_1 + 2b_2 = 10\]

Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки. Выразим одну переменную через другую:

\[-2b_1 = -2b_2 + 10\]

\[b_1 = b_2 - 5\]

Теперь, зная соотношение между \(b_1\) и \(b_2\), мы можем подставить его в первое уравнение:

\[a_1 = \frac{80}{2} - (b_2 - 5)\]

\[a_1 = 40 - b_2 + 5\]

\[a_1 = 45 - b_2\]

Теперь, чтобы найти \(x\) и \(y\), сложим \(a_1\) и \(a_2\):

\[x = a_1 + a_2 = (45 - b_2) + (b_2 - 5)\]

\[x = 40\]

Таким образом, мы видим, что размер \(x\) первоначального листа равен 40 см.

Аналогично, находим \(y\) с помощью выражения:

\[y = b_1 + b_2 = (b_2 - 5) + b_2\]

\[y = 2b_2 - 5\]

Теперь мы можем найти \(y\) путем подстановки значений во второе уравнение:

\[2 \times (40 + y) = 90\]

\[80 + 2y = 90\]

\[2y = 10\]

\[y = 5\]

Таким образом, размер \(y\) первоначального листа равен 5 см.

Теперь, когда у нас есть размеры оригинального листа ватмана, мы можем вычислить его площадь. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[S = a \times b\]

Подставив значения \(x\) и \(y\), получим:

\[S = 40 \times 5 = 200 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь оригинального листа ватмана составляет 200 квадратных сантиметров.