Какая площадь основания конуса, если конус пересечен плоскостью, которая проходит перпендикулярно его высоте и делит

Единорог

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса и плоскости.

Дано, что плоскость пересекает конус перпендикулярно его высоте и делит ее в отношении 1:5 от вершины. Допустим, обозначим высоту конуса как \(h\) (исходя из отношения, 1:5 означает, что от вершины до точки пересечения составляет \(h/6\), а от этой точки до основания составляет \(5h/6\)).

Площадь сечения (проекция плоскости на основание конуса) равна \(S_{\text{сечения}}\).

Теперь для решения задачи, нам необходимо найти площадь основания конуса \(S_{\text{основания}}\) при известной площади сечения \(S_{\text{сечения}}\).

Из геометрических свойств плоской фигуры (например, треугольника), мы знаем, что отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Применяя этот принцип к нашей задаче, можем записать следующее соотношение:

\[\frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{основания}}} = \left(\frac{h/6}{h}\right)^2\]

Домножим обе стороны уравнения на \(S_{\text{основания}}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(S_{\text{сечения}} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot S_{\text{основания}}\)

Теперь можем решить это уравнение относительно \(S_{\text{основания}}\):

\(S_{\text{основания}} = \frac{S_{\text{сечения}}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2}\)

Упростим это выражение:

\(S_{\text{основания}} = 36 \cdot S_{\text{сечения}}\)

Таким образом, площадь основания конуса \(S_{\text{основания}}\) равна \(36\) умноженным на площадь сечения \(S_{\text{сечения}}\).