Какая площадь основания конуса, если конус пересечен плоскостью, которая проходит перпендикулярно его высоте и делит

Единорог

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса и плоскости.

Дано, что плоскость пересекает конус перпендикулярно его высоте и делит ее в отношении 1:5 от вершины. Допустим, обозначим высоту конуса как $h$ (исходя из отношения, 1:5 означает, что от вершины до точки пересечения составляет $h/6$, а от этой точки до основания составляет $5h/6$).

Площадь сечения (проекция плоскости на основание конуса) равна $S_{\text{сечения}}$.

Теперь для решения задачи, нам необходимо найти площадь основания конуса $S_{\text{основания}}$ при известной площади сечения $S_{\text{сечения}}$.

Из геометрических свойств плоской фигуры (например, треугольника), мы знаем, что отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Применяя этот принцип к нашей задаче, можем записать следующее соотношение:

$$\frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{основания}}}={\left(\frac{h/6}{h}\right)}^2$$

Домножим обе стороны уравнения на $S_{\text{основания}}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$S_{\text{сечения}}={\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot S_{\text{основания}}$

Теперь можем решить это уравнение относительно $S_{\text{основания}}$:

$S_{\text{основания}}=\frac{S_{\text{сечения}}}{{\left(\frac{1}{6}\right)}^2}$

Упростим это выражение:

$S_{\text{основания}}=36\cdot S_{\text{сечения}}$

Таким образом, площадь основания конуса $S_{\text{основания}}$ равна $36$ умноженным на площадь сечения $S_{\text{сечения}}$.