Какая площадь треугольника образуется точками A(4;0), B(10;8) и C(6;11)?

Natalya

32

Для решения этой задачи, нам понадобится знать формулу для нахождения площади треугольника по координатам его вершин. Эта формула называется формулой Герона. Однако, для данной задачи, мы будем использовать другой метод - метод разложения треугольника на два прямоугольных треугольника.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника AB, BC и AC, применив формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат. Формула для нахождения расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) в прямоугольной системе координат выглядит следующим образом:

\[AB = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}}\]

Применим эту формулу для нашей задачи:

\[AB = \sqrt{{(10 - 4)^2 + (8 - 0)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{6^2 + 8^2}}\]
\[AB = \sqrt{{36 + 64}}\]
\[AB = \sqrt{{100}}\]
\[AB = 10\]

\[BC = \sqrt{{(6 - 10)^2 + (11 - 8)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(-4)^2 + 3^2}}\]
\[BC = \sqrt{{16 + 9}}\]
\[BC = \sqrt{{25}}\]
\[BC = 5\]

\[AC = \sqrt{{(6 - 4)^2 + (11 - 0)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{2^2 + 11^2}}\]
\[AC = \sqrt{{4 + 121}}\]
\[AC = \sqrt{{125}}\]
\[AC = 5\sqrt{{5}}\]

Шаг 2: Теперь мы можем подсчитать площадь треугольника, используя формулу разложения треугольника на два прямоугольных треугольника:

\[S_{ABC} = S_{ABX} + S_{BCX}\]

Где \(S_{ABX}\) и \(S_{BCX}\) - площади прямоугольных треугольников, образованных сторонами треугольника AB и BC.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}\]

Шаг 3: Разложение треугольника ABX:
Заметим, что сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABX, а сторона AC выступает в роли его высоты. Тогда площадь треугольника ABX будет:

\[S_{ABX} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\]
\[S_{ABX} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{{5}}\]
\[S_{ABX} = 25\sqrt{{5}}\]

Шаг 4: Разложение треугольника BCX:
В этом треугольнике сторона BC выступает в роли гипотенузы, а сторона AC - высоты. Площадь треугольника BCX:

\[S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC\]
\[S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5\sqrt{{5}}\]
\[S_{BCX} = \frac{25}{2}\sqrt{{5}}\]

Шаг 5: Подставим значения площадей обоих треугольников в начальную формулу для площади треугольника ABC:

\[S_{ABC} = S_{ABX} + S_{BCX}\]
\[S_{ABC} = 25\sqrt{{5}} + \frac{25}{2}\sqrt{{5}}\]
\[S_{ABC} = \frac{50 + 25}{2}\sqrt{{5}}\]
\[S_{ABC} = \frac{75}{2}\sqrt{{5}}\]
\[S_{ABC} = \frac{75\sqrt{{5}}}{2}\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного точками A(4;0), B(10;8) и C(6;11), равна \(\frac{75\sqrt{{5}}}{2}\).