Какая плоскость проходит через точки M и P и делает сечение пирамиды?

Pylayuschiy_Zhar-ptica

12

Чтобы найти плоскость, проходящую через точки M и P и делающую сечение пирамиды, нам понадобится знать координаты этих двух точек и иметь представление о формате уравнения плоскости.

Предположим, что у нас есть точка M с координатами (x1, y1, z1) и точка P с координатами (x2, y2, z2). Также предположим, что пирамида имеет вершину O с координатами (x0, y0, z0).

Первым шагом для определения уравнения плоскости, проходящей через точки M и P, нам нужно найти вектор направления этой плоскости. Для этого вычислим разность координат точек P и M:

$$\overrightarrow{PM}=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)$$

Далее, для того чтобы плоскость проходила через точку M, мы можем использовать уравнение плоскости в векторной форме:

$$\overrightarrow{PN}\cdot \overrightarrow{PM}=0$$

где $\overrightarrow{PN}$ - вектор, указывающий на любую точку N в плоскости.

Подставим координаты точки M в это уравнение:

$$(x-x1,y-y1,z-z1)\cdot \overrightarrow{PM}=0$$

Раскрываем скалярное произведение:

$$(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)+(z-z1)(z2-z1)=0$$

Это уравнение задает плоскость, проходящую через точку M и перпендикулярную вектору $\overrightarrow{PM}$.

По аналогичному принципу, мы можем определить уравнение плоскости, проходящей через точку P:

$$(x-x2)(x1-x2)+(y-y2)(y1-y2)+(z-z2)(z1-z2)=0$$

Чтобы найти плоскость, которая делает сечение пирамиды и проходит через точки M и P, мы можем взять пересечение этих двух плоскостей.

Таким образом, у нас есть система уравнений, которую нужно решить одновременно:

$$\{\begin{array}{l}(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)+(z-z1)(z2-z1)=0\\ (x-x2)(x1-x2)+(y-y2)(y1-y2)+(z-z2)(z1-z2)=0\end{array}$$

Решив эту систему уравнений, мы найдем уравнение плоскости, которая проходит через точки M и P и делает сечение пирамиды.