Если отношение сторон треугольника составляет 3:6:7, а его площадь равна 100√5 см², то каков будет периметр

Zmey

31

Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Давайте разберемся сначала с отношением сторон треугольника, которое составляет 3:6:7. Это означает, что пропорция длин сторон треугольника может быть представлена следующим образом: пусть первая сторона равна 3x, вторая сторона - 6x, а третья сторона - 7x, где х - это некоторый коэффициент.

Итак, мы знаем, что площадь треугольника равна 100√5 см². Площадь треугольника можно найти с использованием формулы Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где S - площадь треугольника, а, b, c - длины его сторон, а p - полупериметр, определяемый как (a + b + c)/2.

Давайте подставим численные значения и найдем полупериметр:

\[100\sqrt{5} = \sqrt{p(p - 3x)(p - 6x)(p - 7x)}\]

\[100\sqrt{5} = \sqrt{(3x + 6x + 7x)(3x + 6x - 3x)(3x + 6x - 6x)(3x + 6x - 7x)}\]

\[100\sqrt{5} = \sqrt{16x(16x - 3x)(16x - 6x)(16x - 7x)}\]

\[100\sqrt{5} = \sqrt{16x^2 \cdot 13x^2 \cdot 10x^2}\]

\[100\sqrt{5} = 40x^2 \cdot \sqrt{13 \cdot 10}\]

Перейдем к равенству без корня:

\[100\sqrt{5} = 40x^2 \cdot \sqrt{130}\]

Дальше можно разделить обе части уравнения на 40, привести подобные члены и извлечь из корня значение x:

\[\sqrt{5} = x \cdot \sqrt{130}\]

\[5 = x^2 \cdot 130\]

\[x^2 = \frac{5}{130}\]

\[x^2 = \frac{1}{26}\]

\[x = \sqrt{\frac{1}{26}}\]

\[x = \frac{1}{\sqrt{26}}\]

Теперь мы знаем значение x, которое является коэффициентом отношения длин сторон треугольника. Подставив это значение в выражение для сторон треугольника, мы можем найти их длины.

Для первой стороны:

\[a = 3x = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{26}}\]

Для второй стороны:

\[b = 6x = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{6}{\sqrt{26}}\]

И, наконец, для третьей стороны:

\[c = 7x = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{7}{\sqrt{26}}\]

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем найти его периметр. Периметр триугольника - это сумма длин всех его сторон:

\[P = a + b + c = \frac{3}{\sqrt{26}} + \frac{6}{\sqrt{26}} + \frac{7}{\sqrt{26}}\]

Общий знаменатель у нас уже есть, поэтому мы можем сложить только числители:

\[P = \frac{3 + 6 + 7}{\sqrt{26}}\]

\[P = \frac{16}{\sqrt{26}}\]

Это периметр треугольника. Если мы хотим его значение в сантиметрах, то можно попытаться упростить:

\[P = \frac{16}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}\]

\[P = \frac{16\sqrt{26}}{26}\]

Таким образом, периметр треугольника равен \(\frac{16\sqrt{26}}{26}\) сантиметров. Это является окончательным ответом.