Какая сила будет у токов i1 = 10 а и i2 = 2i1, если они протекают по параллельным проводникам бесконечной длины

Цыпленок

37

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа и закон Ампера.

Сначала найдем силу, действующую между двумя параллельными проводниками, через которые протекают токи \(i_1\) и \(i_2\).

Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

\[dF = \frac{{\mu_0 \cdot i_1 \cdot i_2 \cdot dl}}{{2\pi \cdot r}}\]

Где:

\(dF\) - малая сила, действующая на очень малый участок проводника длиной \(dl\).

\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\)).

\(i_1\) и \(i_2\) - токи, протекающие по проводникам.

\(r\) - расстояние между проводниками.

Применяя закон Био-Савара-Лапласа к нашей задаче, мы получаем:

\[dF = \frac{{\mu_0 \cdot i_1 \cdot 2i_1 \cdot dl}}{{2\pi \cdot r}} = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot dl}}{{2\pi \cdot r}}\]

Так как проводники находятся на бесконечном расстоянии, то их бесконечно малые участки \(dl\) можно считать бесконечно короткими, то есть \(dl\) стремится к нулю. Поэтому сила между проводниками равна сумме всех таких бесконечно малых сил:

\[F = \int{\frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot dl}}{{2\pi \cdot r}}} = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2}}{{2\pi \cdot r}} \int{dl}\]

Учитывая, что \(dl\) - длина каждого проводника, мы можем записать:

\(\int{dl} = 2l\), где \(l\) - длина каждого проводника.

Тогда сила между проводниками будет равна:

\[F = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2}}{{2\pi \cdot r}} \cdot 2l = \frac{{4 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot l}}{{2\pi \cdot r}} = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot l}}{{\pi \cdot r}}\]

Теперь найдем напряженность магнитного поля \(H\) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от проводников.

Закон Ампера гласит:

\[H = \frac{{F}}{{l}}\]

Разделив силу \(F\) на длину проводника \(l\), мы получаем:

\[H = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot l}}{{\pi \cdot r \cdot l}} = \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2}}{{\pi \cdot r}}\]

Наконец, по определению индукции магнитного поля \(B\), связанной с напряженностью магнитного поля \(H\), мы можем записать:

\[B = \mu_0 \cdot H\]

Подставляя значение \(H\) из предыдущего выражения, получаем:

\[B = \mu_0 \cdot \frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2}}{{\pi \cdot r}} = \frac{{2 \cdot \mu_0^2 \cdot i_1^2}}{{\pi \cdot r}}\]

Таким образом, ответ на задачу:

Сила между проводниками составляет \(\frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2 \cdot l}}{{\pi \cdot r}}\).

Напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от проводников, равна \(\frac{{2 \cdot \mu_0 \cdot i_1^2}}{{\pi \cdot r}}\).

Индукция магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от проводников, составляет \(\frac{{2 \cdot \mu_0^2 \cdot i_1^2}}{{\pi \cdot r}}\).

Где значение константы \(\mu_0\) примерно равно \(4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\).

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение предполагает, что длина проводников \(l\) не равна нулю и что их расстояние \(r\) больше нуля. Если в условии задачи что-то не указано, то такие значения предполагаются.