Какая сила будет у токов i1 = 10 а и i2 = 2i1, если они протекают по параллельным проводникам бесконечной длины

Цыпленок

37

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа и закон Ампера.

Сначала найдем силу, действующую между двумя параллельными проводниками, через которые протекают токи $i_1$ и $i_2$.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

$$dF=\frac{{\mu }_0\cdot i_1\cdot i_2\cdot dl}{2\pi \cdot r}$$

Где:

$dF$ - малая сила, действующая на очень малый участок проводника длиной $dl$.

${\mu }_0$ - магнитная постоянная (${\mu }_0\approx 4\pi \times {10}^{-7}Тл/А\cdot м$).

$i_1$ и $i_2$ - токи, протекающие по проводникам.

$r$ - расстояние между проводниками.

Применяя закон Био-Савара-Лапласа к нашей задаче, мы получаем:

$$dF=\frac{{\mu }_0\cdot i_1\cdot 2i_1\cdot dl}{2\pi \cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot dl}{2\pi \cdot r}$$

Так как проводники находятся на бесконечном расстоянии, то их бесконечно малые участки $dl$ можно считать бесконечно короткими, то есть $dl$ стремится к нулю. Поэтому сила между проводниками равна сумме всех таких бесконечно малых сил:

$$F=\int \frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot dl}{2\pi \cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2}{2\pi \cdot r}\int dl$$

Учитывая, что $dl$ - длина каждого проводника, мы можем записать:

$\int dl=2l$, где $l$ - длина каждого проводника.

Тогда сила между проводниками будет равна:

$$F=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2}{2\pi \cdot r}\cdot 2l=\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot l}{2\pi \cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot l}{\pi \cdot r}$$

Теперь найдем напряженность магнитного поля $H$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ от проводников.

Закон Ампера гласит:

$$H=\frac{F}{l}$$

Разделив силу $F$ на длину проводника $l$, мы получаем:

$$H=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot l}{\pi \cdot r\cdot l}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2}{\pi \cdot r}$$

Наконец, по определению индукции магнитного поля $B$, связанной с напряженностью магнитного поля $H$, мы можем записать:

$$B={\mu }_0\cdot H$$

Подставляя значение $H$ из предыдущего выражения, получаем:

$$B={\mu }_0\cdot \frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2}{\pi \cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0^2\cdot i_1^2}{\pi \cdot r}$$

Таким образом, ответ на задачу:

Сила между проводниками составляет $\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2\cdot l}{\pi \cdot r}$.

Напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии $r$ от проводников, равна $\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot i_1^2}{\pi \cdot r}$.

Индукция магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии $r$ от проводников, составляет $\frac{2\cdot {\mu }_0^2\cdot i_1^2}{\pi \cdot r}$.

Где значение константы ${\mu }_0$ примерно равно $4\pi \times {10}^{-7}Тл/А\cdot м$.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение предполагает, что длина проводников $l$ не равна нулю и что их расстояние $r$ больше нуля. Если в условии задачи что-то не указано, то такие значения предполагаются.