Какая сила действует на тело массой 2 кг и какова его кинетическая энергия через 3 секунды после начала движения, если

Baronessa

40

Чтобы определить силу, действующую на тело, нам нужно найти производную функции \(f(t)\), описывающей путь тела. Таким образом, начнем с вычисления первой производной функции \(f(t)\) по времени \(t\):

\[f"(t) = \frac{d}{dt} (2t^3 - 3t^2 + 14t)\]

Для этого вычислим производные каждого члена по отдельности:

\[\frac{d}{dt} (2t^3) = 6t^2\]
\[\frac{d}{dt} (-3t^2) = -6t\]
\[\frac{d}{dt} (14t) = 14\]

Теперь, найдем силу, действующую на тело. Второй закон Ньютона говорит нам, что сила \(F\) равна массе тела \(m\) умноженной на ускорение \(a\):

\[F = m \cdot a\]

А ускорение \(a\) определяется второй производной пути \(f(t)\) по времени:

\[a = \frac{d^2}{dt^2} (2t^3 - 3t^2 + 14t)\]

Вычислим вторую производную, аналогично предыдущему шагу:

\[\frac{d^2}{dt^2} (2t^3) = 12t\]
\[\frac{d^2}{dt^2} (-3t^2) = -6\]
\[\frac{d^2}{dt^2} (14t) = 0\]

Теперь мы можем вычислить силу, подставив \(m = 2\) и \(a\) в уравнение:

\[F = m \cdot a = 2 \cdot (-6) = -12 \, \text{Н}\]

Теперь посмотрим на кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения. Кинетическая энергия \(E_k\) определяется следующим образом:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(v\) - скорость тела. Поскольку нам дана функция пути \(f(t)\), мы можем найти скорость, вычислив первую производную функции \(f(t)\) по времени:

\[v = \frac{d}{dt} (2t^3 - 3t^2 + 14t)\]

Вычислим производные каждого члена, как ранее:

\[\frac{d}{dt} (2t^3) = 6t^2\]
\[\frac{d}{dt} (-3t^2) = -6t\]
\[\frac{d}{dt} (14t) = 14\]

Теперь, подставим \(t = 3\) в найденные значения скорости \(v\) и массу \(m = 2\) в уравнение для кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 = v^2\]

Подставим значения \(v\):

\[E_k = (6 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 14)^2\]

Теперь вычислим это значение:

\[E_k = (54 - 18 + 14)^2 = 50^2 = 2500 \, \text{Дж}\]

Значит, через 3 секунды после начала движения, на тело действует сила -12 Н и его кинетическая энергия составляет 2500 Дж.