Какая сумма будет выплачена банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е

Черныш_5226

43

Чтобы решить эту задачу, мы можем разбить ее на несколько шагов:

1. Найдем размер платежа для каждого года.
2. Рассчитаем общую сумму выплат, суммируя все платежи за 4 года.

Шаг 1:
Для начала, нам нужно определить размер платежа для каждого года. Для этого мы должны знать начальный долг и процент его увеличения в январе каждого года.

Предположим, начальный долг составляет \(D\) единиц (например, долларов).

Тогда, в январе каждого года, долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года. Таким образом, долг в январе первого года будет составлять \(D\), в январе второго года - \(D + 0.1D\), в январе третьего года - \((D + 0.1D) + 0.1(D + 0.1D)\), и т.д.

Обобщая это, получаем формулу для долга в январе каждого года:
\[D_n = D + 0.1D + 0.1(D + 0.1D) + \ldots + (0.1)^{n-1}(D + 0.1(D + 0.1(D + \ldots + 0.1D)\ldots))\]

где \(D_n\) - долг в январе \(n\)-го года, \(D\) - начальный долг.

Данная формула представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом \(D\) и знаменателем \(1.1\). Мы можем легко выразить эту сумму с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии:

\[D_n = D \cdot \frac{{1 - (1.1)^n}}{{1 - 1.1}}\]

Шаг 2:
Рассчитаем общую сумму выплат за 4 года, сложив все платежи.

Обозначим \(\text{Платеж}\) - размер платежа для каждого года.

Общая сумма выплат будет равна:
\[\text{Сумма выплат} = \text{Платеж} + \text{Платеж} + \text{Платеж} + \text{Платеж} = 4 \cdot \text{Платеж}\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, мы можем приступить к вычислениям.

Для примера, предположим, что начальный долг \(D\) равен 1000 долларов.

1. Шаг 1:
Для первого года:

\[D_1 = 1000 \cdot \frac{{1 - (1.1)^1}}{{1 - 1.1}} = 1000 \cdot \frac{{1 - 1.1}}{{-0.1}} = 1000 \cdot 10 = 10000\]

То есть, долг в январе первого года составляет 10000 долларов.

Аналогично, рассчитаем долг для второго, третьего и четвертого годов:

Для второго года:
\[D_2 = 1000 \cdot \frac{{1 - (1.1)^2}}{{1 - 1.1}} = 1000 \cdot \frac{{1 - 1.21}}{{-0.1}} = 1000 \cdot 21 = 21000\]

Для третьего года:
\[D_3 = 1000 \cdot \frac{{1 - (1.1)^3}}{{1 - 1.1}} = 1000 \cdot \frac{{1 - 1.331}}{{-0.1}} = 1000 \cdot 33.1 = 33100\]

Для четвертого года:
\[D_4 = 1000 \cdot \frac{{1 - (1.1)^4}}{{1 - 1.1}} = 1000 \cdot \frac{{1 - 1.4641}}{{-0.1}} = 1000 \cdot 46.41 = 46410\]

2. Шаг 2:
Суммируем все платежи:

\[\text{Сумма выплат} = 10000 + 21000 + 33100 + 46410 = 110510\]

Итак, сумма, которую нужно выплатить банку, чтобы полностью погасить кредит 4 равными платежами, составляет 110510 долларов.