Какая точка является максимумом функции y = -15 + 300x - x^3?

Весенний_Лес

3

Для нахождения точки, в которой функция достигает максимума, нам понадобится производная функции и анализ ее знаков.

Шаг 1: Найдем производную функции y = -15 + 300x - x^3. Производная функции позволяет нам узнать скорость изменения функции в каждой точке ее графика.

Используя правило дифференцирования, находим производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 300 - 3x^2
\]

Шаг 2: Теперь мы должны найти точки, где производная равна нулю или не определена (то есть, где знак производной меняется).

Для этого приравниваем производную к нулю:

\[
300 - 3x^2 = 0
\]

Решаем это уравнение относительно x:

\[
3x^2 = 300
\]

\[
x^2 = 100
\]

\[
x = \pm 10
\]

Шаг 3: Теперь мы знаем, что производная равна нулю при x = -10 и x = 10. Давайте проанализируем знаки производной в интервалах.

Выбираем случайные точки в каждом интервале и проверяем знак производной. Например, выбираем x = -11, x = 0 и x = 11.

При x = -11: \(\frac{{dy}}{{dx}} = 300 - 3(-11)^2 = 300 - 3(121) = -243\). Знак отрицательный.

При x = 0: \(\frac{{dy}}{{dx}} = 300 - 3(0)^2 = 0\). Знак равен нулю.

При x = 11: \(\frac{{dy}}{{dx}} = 300 - 3(11)^2 = 300 - 3(121) = -243\). Знак отрицательный.

Шаг 4: Итак, мы знаем, что функция имеет максимум в точках, где производная меняет знак с положительного на отрицательный. В нашем случае это происходит в точках x = -10 и x = 10.

Шаг 5: Чтобы найти соответствующие значения y (то есть, значение функции при x = -10 и x = 10), подставим эти значения в исходную функцию:

При x = -10: y = -15 + 300(-10) - (-10)^3 = -15 - 3000 - (-1000) = -15 - 3000 + 1000 = -2015

При x = 10: y = -15 + 300(10) - (10)^3 = -15 + 3000 - 1000 = -15 + 3000 - 1000 = 1985

Шаг 6: Итак, точки, в которых функция достигает максимума, это (-10, -2015) и (10, 1985).

Это подробное решение позволяет нам понять, как мы пришли к этому ответу и обосновать его. Надеюсь, это решение помогло вам лучше понять, как найти точку максимума функции.