Какие будут координаты повернутой точки, если точка А(1; 0) повернута вокруг начала координат на следующие углы

Vesna

25

Для решения данной задачи нам понадобится знание формул поворота точки вокруг начала координат. Эти формулы основываются на тригонометрических функциях синус и косинус.

Во-первых, нам необходимо определить радианную меру угла. Для этого нужно умножить заданный угол в градусах на \(\frac{\pi}{180}\).

а) Пусть угол поворота равен 30°. Тогда радианная мера угла будет \(30° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\).

Для поворота точки A на угол \(\frac{\pi}{6}\) по часовой стрелке, мы применяем следующие формулы:

\[x" = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)\]
\[y" = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)\]

Подставив значения координат точки A (1; 0) и \(\frac{\pi}{6}\) в эти формулы, получим:

\[x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]

Таким образом, при повороте точки A на угол 30° по часовой стрелке, новые координаты точки будут \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)\).

б) Аналогично проделаем для угла поворота 45°:

\[x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

То есть, координаты повернутой точки при угле поворота 45° будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

в), г), д), е), ж) и з) По аналогии с предыдущими пунктами, подставляем значения углов поворота и находим новые координаты:

в) \( \left(\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
г) \( \left(0 ; 1\right)\)
д) \( \left(-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
е) \( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
ж) \( \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)\)
з) \( \left(-1 ; 0\right)\)

Таким образом, мы нашли координаты повернутой точки для каждого угла поворота.