Какова площадь сферы, которая вписана в конус, если радиус основания конуса равен 3 см и угол при вершине осевого

Тропик_1751

12

Чтобы решить эту задачу и найти площадь вписанной сферы, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса и формулы для нахождения площади его осевого сечения.

Для начала, давайте определимся с терминами. Основание конуса - это круг, который расположен внизу и имеет радиус 3 см. Угол при вершине осевого сечения - это угол, образованный линией, соединяющей вершину конуса и точку на окружности основания сферы, с осью симметрии конуса. В данной задаче угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов.

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Площадь сферы можно найти, опираясь на отношение площадей осевого сечения конуса и площади сферы вписанной в него.

Формула для площади осевого сечения конуса выглядит следующим образом:
\[S_{\text{осевого}} = \pi R^2 \tan^2(\alpha)\]
где \(R\) - радиус основания конуса, а \(\alpha\) - угол при вершине осевого сечения в радианах.

В данной задаче \(R = 3 \, \text{см}\) и \(\alpha = 60^\circ\).

Переведем угол в радианы:
\(\alpha_{\text{рад}} = \frac{\pi}{180} \cdot \alpha = \frac{\pi}{180} \cdot 60^\circ\).

Теперь, подставляя значения в формулу, получаем:
\[S_{\text{осевого}} = \pi \cdot (3 \, \text{см})^2 \cdot \tan^2\left(\frac{\pi}{180} \cdot 60^\circ\right) \approx 31.01 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна примерно 31.01 квадратным сантиметру.

Затем, нам нужно использовать отношение площадей, чтобы найти площадь вписанной сферы. Площадь осевого сечения конуса составляет отношение площади осевого сечения конуса к площади сферы:
\[\frac{S_{\text{осевого}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{\pi R^2 \tan^2(\alpha)}{S_{\text{сферы}}}\]

Мы знаем, что площадь сферы выражается как \(4\pi r^2\), где \(r\) - радиус сферы. Зная это, мы можем переписать уравнение:
\[\frac{S_{\text{осевого}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{\pi R^2 \tan^2(\alpha)}{4\pi r^2}\]

Зная, что радиус сферы - это радиус основания конуса, мы можем заменить \(r\) на \(R\):
\[\frac{S_{\text{осевого}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{\pi R^2 \tan^2(\alpha)}{4\pi R^2}\]

Упрощая выражение, получаем:
\[\frac{S_{\text{осевого}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{\tan^2(\alpha)}{4}\]

Мы знаем, что площадь развертки сферы равна \(4\pi r^2\), поэтому площадь сферы можно выразить как:
\[S_{\text{сферы}} = 4\pi r^2\]

Подставляя в формулу полученное отношение площадей, получаем:
\[\frac{\tan^2(\alpha)}{4} = \frac{S_{\text{осевого}}}{4\pi r^2}\]
\[\tan^2(\alpha) = \frac{S_{\text{осевого}}}{\pi r^2}\]

И, наконец, находим площадь сферы:
\[S_{\text{сферы}} = \frac{S_{\text{осевого}}}{\pi \tan^2(\alpha)}\]
\[S_{\text{сферы}} = \frac{31.01 \, \text{см}^2}{\pi \tan^2\left(\frac{\pi}{180} \cdot 60^\circ\right)} \approx 194.88 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь вписанной сферы составляет примерно 194.88 квадратных сантиметра.