Какие будут скорости брусков m и 2m после соударения, если брусок массой m движется со скоростью v0=2м/с и сталкивается

Ангелина

42

Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что в системе изолированных тел сумма импульсов до и после соударения остается неизменной.

Дано:
Масса первого бруска: m
Масса второго бруска: 2m
Начальная скорость первого бруска: \(v_0 = 2 \, \text{м/с}\)

Обозначим:
Скорость первого бруска после соударения: \(v_1\)
Скорость второго бруска после соударения: \(v_2\)

Используем закон сохранения импульса:
\(m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + 2m \cdot v_2\)

Также учитываем, что 50% первоначальной кинетической энергии переходит в тепло. Это означает, что сумма кинетических энергий после соударения будет составлять 50% от начальной кинетической энергии первого бруска.

Выразим кинетическую энергию через скорости:
\(E_0 = \frac{1}{2} m \cdot v_0^2\) - начальная кинетическая энергия первого бруска
\(E = \frac{1}{2} m \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot 2m \cdot v_2^2\) - кинетическая энергия после соударения

Учитывая, что 50% первоначальной кинетической энергии переходит в тепло, получаем:
\(E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m \cdot v_0^2\)

Подставляем выражения для кинетической энергии и решаем уравнение:
\(\frac{1}{2} m \cdot v_0^2 = \frac{1}{2} m \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot 2m \cdot v_2^2\)

Упрощаем:
\(2 \cdot 2^2 = 1 \cdot v_1^2 + 2 \cdot v_2^2\)

Решаем это уравнение относительно \(v_1\):
\(4 = v_1^2 + 2v_2^2\)

Также у нас есть выражение для сохранения импульса:
\(m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + 2m \cdot v_2\)

Подставляем значение \(v_1\) из уравнения для кинетической энергии:
\(2 \cdot 2 = v_0 - 2v_2 + 2v_2\)

Упрощаем:
\(4 = 2v_0\)

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение скорости \(v_0\):
\(v_0 = 2 \, \text{м/с}\)

Далее, подставляем найденное значение \(v_0\) в уравнение для сохранения импульса:
\(2 \cdot 2 = 2 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2\)

Упрощаем:
\(4 = 2v_1 + 2v_2\)

Теперь решим данное уравнение относительно \(v_2\):
\(v_2 = 2 - v_1\)

Подставляем полученное выражение для \(v_2\) в уравнение для кинетической энергии:
\(4 = v_1^2 + 2(2 - v_1)^2\)

Упрощаем и решаем выражение:
\(4 = v_1^2 + 2(4 - 4v_1 + v_1^2)\)

Раскрываем скобки:
\(4 = v_1^2 + 8 - 8v_1 + 2v_1^2\)

Сводим подобные слагаемые:
\(0 = 3v_1^2 - 8v_1 + 4\)

Решаем данное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня:
\(v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(v_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставляем значения коэффициентов:
\(v_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{м/с}\)

Подставляем значение \(v_1\) в выражение для \(v_2\):
\(v_2 = 2 - v_1 = 2 - 2 = 0 \, \text{м/с}\)

Итак, после соударения скорость первого бруска (\(m\)) будет равна 2 м/с, а скорость второго бруска (\(2m\)) будет равна 0 м/с.

Округляя полученные значения до целых чисел, мы получим:
Скорость первого бруска: 2 м/с
Скорость второго бруска: 0 м/с