Какие будут скорости шаров после удара, если первый шар движется со скоростью v1=10 м/с, упруго соударяется

Letuchiy_Demon

21

В данной задаче у нас есть два шара. Первый шар движется со скоростью \(v_1 = 10 \, \text{м/с}\) и сталкивается со вторым покоящимся шаром.

Пусть масса второго шара будет \(m_2\) и масса первого шара будет \(m_1 = 5m_2\) (масса первого шара в \(n = 5\) раз больше массы второго шара).

Упругий столкновение означает, что во время столкновения сохраняется полная импульс системы. Мы можем использовать законы сохранения импульса, чтобы решить эту задачу.

Импульс \(p\) определяется как произведение массы объекта на его скорость: \(p = mv\).

Полная импульс системы до столкновения равен полной импульсу системы после столкновения, так как влияние внешних сил отсутствует.

Поэтому, имея массу и скорость каждого шара до столкновения, мы можем найти их скорости после столкновения.

Полный импульс системы до столкновения:
\[p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\]

Полный импульс системы после столкновения:
\[p_{\text{после}} = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]

Где \(u_1\) и \(u_2\) - скорости первого и второго шаров после столкновения соответственно.

Используя законы сохранения импульса, можно записать уравнения:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]
\[10 \cdot 5m_2 + 0 = 5m_2 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]
\[50m_2 = 5m_2 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]

Так как шары сталкиваются упруго, имеем также условие сохранения кинетической энергии:
\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2\]
\[\frac{1}{2} \cdot 5m_2 \cdot (10)^2 = \frac{1}{2} \cdot 5m_2 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\]
\[250m_2 = 5m_2 \cdot u_1^2 + m_2 \cdot u_2^2\]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными \(u_1\) и \(u_2\). Можно решить ее, подставив \(m_1 = 5m_2\).

\[50m_2 = 5m_2 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]
\[250m_2 = 5m_2 \cdot u_1^2 + m_2 \cdot u_2^2\]

Делим первое уравнение на \(m_2\):
\[50 = 5u_1 + u_2\]

Подставляем \(u_2 = 50 - 5u_1\) во второе уравнение:
\[250m_2 = 5m_2 \cdot u_1^2 + m_2 \cdot (50 - 5u_1)^2\]

Упрощаем выражение:
\[250 = 5u_1^2 + (50 - 5u_1)^2\]

Раскрываем скобки:
\[250 = 5u_1^2 + 2500 - 500u_1 + 25u_1^2\]

Собираем слагаемые:
\[30u_1^2 - 500u_1 + 2250 = 0\]

Делим все на 30:
\[u_1^2 - \frac{500}{30}u_1 + \frac{2250}{30} = 0\]
\[u_1^2 - \frac{25}{3}u_1 + \frac{75}{3} = 0\]

Теперь можно воспользоваться квадратным уравнением:
\[u_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
\[u_1 = \frac{-\left(-\frac{25}{3}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{25}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{75}{3}}}{2 \cdot 1}\]

Раскрываем скобки и упрощаем:
\[u_1 = \frac{\frac{25}{3} \pm \sqrt{\frac{625}{9} - \frac{100}{3}}}{2}\]
\[u_1 = \frac{\frac{25}{3} \pm \sqrt{\frac{625 - 300}{9}}}{2}\]
\[u_1 = \frac{\frac{25}{3} \pm \sqrt{\frac{325}{9}}}{2}\]
\[u_1 = \frac{\frac{25}{3} \pm \frac{5\sqrt{13}}{3}}{2}\]

Упрощаем выражение:
\[u_1 = \frac{25 \pm 5\sqrt{13}}{6}\]

Теперь мы получили два возможных значения для \(u_1\). Первый случай:
\[u_1 = \frac{25 + 5\sqrt{13}}{6} \approx 8.166 \, \text{м/с}\]

Второй случай:
\[u_1 = \frac{25 - 5\sqrt{13}}{6} \approx -0.166 \, \text{м/с}\]

Так как \(u_1\) не может быть отрицательным (в данной задаче выбирается положительное значение скорости), то окончательный ответ: \(u_1 = 8.166 \, \text{м/с}\).

Далее, чтобы найти \(u_2\), подставляем значение \(u_1\) в одно из уравнений системы:
\[50 = 5u_1 + u_2\]
\[50 = 5 \cdot 8.166 + u_2\]
\[u_2 = 50 - 40.83\]
\[u_2 = 9.167 \, \text{м/с}\]

Таким образом, после удара скорость первого шара составит \(u_1 = 8.166 \, \text{м/с}\), а скорость второго шара будет \(u_2 = 9.167 \, \text{м/с}\).