Какие были исходные размеры прямоугольника, если его площадь увеличилась в 2 раза, а периметр изменился с 36 см

Vaska

4

Добро пожаловать! Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть два условия: изменение площади и изменение периметра прямоугольника.

Исходные размеры прямоугольника будем обозначать как \(a\) и \(b\), где \(a\) - длина, а \(b\) - ширина. Площадь прямоугольника определяется как произведение его сторон: \(S = a \cdot b\). Если площадь увеличилась в 2 раза, то новая площадь равна \(2S\), то есть \(2S = 2ab\).

Теперь рассмотрим изменение периметра. Периметр прямоугольника определяется как сумма длин всех его сторон: \(P = 2a + 2b\). Мы знаем, что периметр изменился с 36 см до \(P_2\).

Теперь в основе этой задачи лежит система уравнений с двумя неизвестными. Из описания задачи у нас есть два условия:

1. Новая площадь в 2 раза больше исходной: \(2S = 2ab\).
2. Изменение периметра с 36 см до \(P_2\): \(2a + 2b = P_2\).

Нам нужно решить эту систему уравнений.

Допустим, мы уже знаем новый периметр \(P_2\). Тогда из второго уравнения можно найти одну из неизвестных, например, выразить \(b\) через \(a\):

\[2a + 2b = P_2 \Rightarrow b = \frac{P_2}{2} - a\]

Теперь, если мы заменим \(b\) в первом уравнении на полученное выражение, получим:

\[2S = 2ab \Rightarrow 2S = 2a\left(\frac{P_2}{2} - a\right)\]

Раскроем скобки:

\[2S = aP_2 - 2a^2\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(a\)). Приведем его к квадратному виду:

\[2a^2 - aP_2 + 2S = 0\]

Это квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -P_2\), \(c = 2S\).

Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения и найдем возможные значения \(a\). Дискриминант будет равен:

\[D = (-P_2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2S\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[a = \frac{-(-P_2) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 2}\]

\[a = \frac{P_2 \pm \sqrt{D}}{4}\]

Таким образом, мы получили два возможных значения \(a\). Подставим каждое из этих значений в уравнение периметра, чтобы найти соответствующие значения \(b\):

\[b = \frac{P_2}{2} - a\]

Таким образом, исходные размеры прямоугольника будут равны найденным значениям \(a\) и \(b\).

Пожалуйста, укажите, какой конкретный новый периметр \(P_2\) дан в задаче, чтобы мы могли продолжить решение.