Какие четырехзначные числа имеют сумму цифр, равную разности между 2019 и самим этим числом? Найдите все такие числа

Yakor

37

Предлагаю начать с анализа условия задачи. Задача говорит нам о четырехзначных числах, у которых сумма цифр равна разности между 2019 и самим числом. Давайте разберемся в этом.

Предположим, что четырехзначное число имеет вид "abcd", где a, b, c и d - цифры числа. По условию задачи, мы должны найти все такие числа.

Сумма цифр равна разности между 2019 и самим числом, поэтому мы можем записать уравнение:

a + b + c + d = 2019 - (1000a + 100b + 10c + d)

Давайте теперь упростим это уравнение:

a + b + c + d = 2019 - 1000a - 100b - 10c - d

Перенесем все цифры с переменных на одну сторону уравнения:

1001a + 101b + 11c = 2019 - d

Заметим, что левая часть уравнения должна делиться на 11, так как сумма 1001a + 101b + 11c должна быть кратна 11. Это дает нам следующее уравнение:

1001a + 101b + 11c ≡ 2019 - d (mod 11)

Теперь давайте рассмотрим возможные значения d. Поскольку мы ищем четырехзначные числа, d не может быть равным 0, поэтому рассмотрим значения от 1 до 9.

Для каждого значения d, мы можем выразить уравнение для a, b и c, используя уравнение 1001a + 101b + 11c ≡ 2019 - d (mod 11).

Далее, мы приступим к решению уравнения по модулю 11 для каждого значения d. Наша задача - найти значения a, b и c, удовлетворяющие этому уравнению.

Также стоит отметить, что у нас будет много комбинаций значений для a, b и c, в которых все значения находятся в пределах от 0 до 9, так как мы рассматриваем только цифры.

После того, как мы найдем все значения a, b и c для каждого значения d, нам нужно просто объединить значения в соответствии с форматом и упорядочить их по возрастанию.

Начнем с решения уравнения по модулю 11 для d = 1:

1001a + 101b + 11c ≡ 2019 - 1 (mod 11)

Упрощая это уравнение, получаем:

1001a + 101b + 11c ≡ 2018 (mod 11)

Теперь мы решим это уравнение.