Какие действительные значения у x и y удовлетворяют уравнению (2x-3yi)(2x+3yi)+xi=97+2i?

Belochka

64

Давайте разберемся с данной задачей. У нас есть уравнение:

\((2x-3yi)(2x+3yi)+xi=97+2i\)

Для начала, мы можем применить формулу разности квадратов, чтобы упростить левую часть уравнения. Формула разности квадратов утверждает, что \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Применяя эту формулу в данном случае, мы получим:

\((2x)^2 - (3yi)^2 + xi = 97+2i\)

Раскрывая скобки, получим:

\(4x^2 - 9y^2i^2 + xi = 97+2i\)

Заметим, что \(i^2 = -1\), следовательно, можем заменить \(i^2\) на \(-1\):

\(4x^2 - 9y^2(-1) + xi = 97+2i\)

Далее:

\(4x^2 + 9y^2 + xi = 97+2i\)

Теперь у нас есть два уравнения: одно для компонент с действительными числами и одно для компонент с мнимыми числами. Разделим уравнение на две части:

\(4x^2 + 9y^2 = 97\) (1)

\(xi = 2i\) (2)

Давайте решим уравнение (2) относительно \(x\):

\(xi = 2i\)

Разделим обе части на \(i\):

\(x = 2\)

Теперь, зная значение \(x\), мы можем подставить его в уравнение (1) и решить его относительно \(y\):

\(4(2)^2 + 9y^2 = 97\)

\(16 + 9y^2 = 97\)

Вычтем 16 из обеих частей:

\(9y^2 = 81\)

Разделим обе части на 9:

\(y^2 = 9\)

Возьмем квадратный корень от обеих частей, учитывая, что у нас работаем с действительными числами:

\(y = \pm 3\)

Таким образом, мы получили два возможных решения для переменных \(x\) и \(y\):

\(x = 2\) и \(y = 3\)

или

\(x = 2\) и \(y = -3\)

То есть, действительные значения, удовлетворяющие уравнению, - это \(x = 2\) и \(y = 3\) или \(y = -3\).