Какие длины имеют стороны параллелограмма, если одна из них больше на 3 см, а острый угол составляет 30°? Известно

Magicheskiy_Vihr

10

Конечно! Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые математические знания и формулы.

Во-первых, давайте обозначим длины сторон параллелограмма как \(a\) и \(b\) (где \(a > b\)). Мы знаем, что одна сторона больше на 3 см, так что можем записать уравнение: \(a = b + 3\).

Теперь, мы знаем, что площадь параллелограмма (\(S\)) равна произведению длины одной из его сторон на высоту (\(h\)): \(S = a \cdot h\).

Мы также знаем, что острый угол параллелограмма составляет 30°. Параллелограммы имеют равные высоты для боковых сторон. Таким образом, высота параллелограмма (\(h\)) может быть найдена по формуле: \(h = b \cdot \sin(30°)\).

Теперь, мы можем записать уравнение площади параллелограмма с использованием известных значений: \(44 = (b + 3) \cdot (b \cdot \sin(30°))\).

Давайте решим это уравнение пошагово:

1. Распишем формулу площади: \(44 = (b + 3) \cdot (b \cdot \sin(30°))\).

2. Упростим уравнение, умножив боковую сторону на \(\sin(30°)\): \(44 = (b + 3) \cdot \frac{1}{2} \cdot b\).

3. Раскроем скобки: \(44 = \frac{1}{2} \cdot b^2 + \frac{3}{2} \cdot b\).

4. Перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить квадратное уравнение: \(0 = \frac{1}{2} \cdot b^2 + \frac{3}{2} \cdot b - 44\).

5. Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где у нас квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{3}{2}\), \(c = -44\). Подставим значения в формулу:
\[D = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-44)\]

6. Вычислим дискриминант:
\[D = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 44\]

7. Упростим:
\[D = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 44 = \frac{9}{4} + 4 \cdot 22 = \frac{9}{4} + 88 = \frac{9 + 352}{4} = \frac{361}{4}\]

8. Теперь, найдем решения уравнения, используя формулу для корней:
\[b_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{3}{2}\), \(D = \frac{361}{4}\). Подставим значения в формулу:

\[b_1 = \frac{-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{361}{4}}}{2 \cdot \frac{1}{2}}, \quad b_2 = \frac{-\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{361}{4}}}{2 \cdot \frac{1}{2}}\]

9. Вычислим значения \(b_1\) и \(b_2\):

\[b_1 = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}}{1}, \quad b_2 = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}}{1}\]

\[b_1 = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{19}{2}}{1} = \frac{16}{2} = 8, \quad b_2 = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{19}{2}}{1} = -11\]

Таким образом, получаем два значения длины стороны \(b\): \(b_1 = 8\) и \(b_2 = -11\).

10. Нам нужно выбрать положительное значение для длины стороны. Таким образом, \(b = 8\) см.

11. Теперь, мы можем найти длину стороны \(a\) с использованием уравнения \(a = b + 3\). Подставим \(b = 8\) в уравнение: \(a = 8 + 3 = 11\) см.

Итак, длины сторон параллелограмма равны \(a = 11\) см и \(b = 8\) см.