Какие длины имеют стороны треугольника ABC, если угол B равен 60 градусов, AC равно 7 и полупериметр равен

Шустрик

29

Для того чтобы найти длины сторон треугольника ABC, зная угол B, длину AC и полупериметр, мы можем использовать связанные с углами и сторонами треугольника свойства.

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC как AB, BC и CA (или a, b и c соответственно). Мы также знаем, что угол B равен 60 градусов, длина AC равна 7 и полупериметр треугольника составляет \(s\) (где \(s = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\)).

Мы можем воспользоваться тремя свойствами треугольника:

1. Закон синусов: \(\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\), где A, B и C - углы треугольника, a, b и c - стороны, противолежащие этим углам.

2. Сумма углов треугольника: \(A + B + C = 180^\circ\).

3. Формула площади треугольника: \(S = \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\), где \(S\) - площадь треугольника.

Обратимся к задаче и начнем пошагово решение:

1. Найдем угол C. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то \(A + B + C = 180^\circ\). Подставим значение угла B (60 градусов) и найдем C: \(C = 180^\circ - A - B\).

2. Последовательно применим закон синусов к двум углам (B и C) и двум противолежащим сторонам (b и c):

\(\frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\) или \(b = c \cdot \frac{{\sin B}}{{\sin C}}\).

3. Используя закон синусов, найдем сторону a:

\(a = c \cdot \frac{{\sin A}}{{\sin C}}\).

4. Получим выражение для площади треугольника S через стороны:

\(S = \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\).

Теперь, учитывая все вышеперечисленные шаги, давайте решим задачу сделав все вычисления:

Сначала найдем угол C:

\(A = 180^\circ - B - C\).

Затем найдем сторону b:

\(b = AC \cdot \frac{{\sin B}}{{\sin C}}\).

Затем найдем сторону a:

\(a = AC \cdot \frac{{\sin A}}{{\sin C}}\).

Наконец, найдем площадь треугольника S:

\(s = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\)

\(S = \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\).

И все, мы найдем длины сторон треугольника ABC.