Як знайти косинус кута в трикутнику abc, якщо координати вершин а (2; –4; 2), в (3; –3; 3), с (4; –2

Chudesnyy_Korol

52

Для нахождения косинуса угла в треугольнике мы можем использовать формулу косинусов, которая гласит:

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}} \]

где \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) - это векторные разности между соответствующими координатами вершин треугольника.

Давайте найдем эти векторные разности:

\(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\) = (3; -3; 3) - (2; -4; 2) = (1; 1; 1)

\(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\) = (4; -2; 0) - (2; -4; 2) = (2; 2; -2)

Теперь найдем длины этих векторов:

|\(\overrightarrow{AB}|\) = \(\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}\) = \(\sqrt{3}\)

|\(\overrightarrow{AC}|\) = \(\sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2}\) = \(\sqrt{12}\)

Теперь подставим все это в формулу косинусов:

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{{(1; 1; 1) \cdot (2; 2; -2)}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}}} \]

Теперь выполним вычисления:

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{{1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}}} = \frac{2 + 2 - 2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \]

Таким образом, косинус угла в треугольнике \(ABC\) примерно равен 0.577.

Надеюсь, этот шаг за шагом подробный ответ был понятен для вас. Я готов помочь!