Какие два члена являются средними в разложении (a^3+ab)^21?

Солнечный_Бриз_9431

49

Для начала, давайте разложим выражение \((a^3 + ab)^{21}\) с использованием биномиальной формулы. Биномиальная формула гласит, что \((x + y)^n\) можно разложить в сумму \(\binom{n}{0}x^n y^0 + \binom{n}{1}x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2} y^2 + \ldots + \binom{n}{n}x^0 y^n\), где \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - биномиальный коэффициент.

Применяя биномиальную формулу к нашему выражению \((a^3 + ab)^{21}\), мы получаем:
\[\binom{21}{0}(a^3)^{21}(ab)^0 + \binom{21}{1}(a^3)^{20}(ab)^1 + \binom{21}{2}(a^3)^{19}(ab)^2 + \ldots + \binom{21}{21}(a^3)^0(ab)^{21}\]

Давайте упростим наши члены. Все члены, которые содержат \(a^3\), будут иметь степени \(a\) от 3 до 0, а все члены, содержащие \(ab\), будут иметь степени \(a\) от 0 до 21.

Теперь рассмотрим два члена, которые будут являться "средними" в этом разложении. Они будут находиться в середине списка разложения, то есть у них должны быть одинаковые степени \(a\). Также количество членов между ними должно быть нечетным, чтобы обеспечить симметрию в разложении.

В нашем случае разложение имеет 22 члена, поэтому центром будет 11-й по счету член. Этот член будет иметь степень \(a\) равную 21-11 = 10, так как степень \(a^3\) понижается на 1 с каждым последующим членом.

Итак, два средних члена в разложении \((a^3 + ab)^{21}\) суть:
\[\binom{21}{10}(a^3)^{11}(ab)^{10}\] и \[\binom{21}{11}(a^3)^{10}(ab)^{11}\]

Таким образом, ответ: два средних члена в разложении \((a^3 + ab)^{21}\) - это \(\binom{21}{10}(a^3)^{11}(ab)^{10}\) и \(\binom{21}{11}(a^3)^{10}(ab)^{11}\).

Такие развернутые ответы помогают понять, каким образом разложить выражение и какие шаги приводят к ответу. Надеюсь, это помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.