Каково значение cos2a, если 4tga-4ctga=15, и a находится в пределах от 3П/2

Магический_Единорог_2164

40

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выразить \(cos2a\) через \(tga\) и \(ctga\) и использовать данное уравнение, чтобы найти значение \(cos2a\).

Воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить \(cos2a\) через \(tga\) и \(ctga\). Формула для \(cos2a\) выглядит следующим образом:

\[cos2a = cos^2(a) - sin^2(a)\]

Теперь вспомним тригонометрическое тождество \(cos^2(a) = 1 - sin^2(a)\) и заменим \(cos^2(a)\) в формуле:

\[cos2a = (1 - sin^2(a)) - sin^2(a)\]

Упростим это уравнение:

\[cos2a = 1 - 2sin^2(a)\]

Теперь у нас есть формула для \(cos2a\), которую мы можем использовать для решения задачи.

Используя данное уравнение \(4tga - 4ctga = 15\) и ограничение на \(a\), которое говорит нам, что \(a\) находится в пределах от \(3\pi/2\), мы можем найти значение \(cos2a\).

Для начала, найдем значение \(tga\) и \(ctga\) по формулам:

\[tga = \frac{{sin(a)}}{{cos(a)}}\]
\[ctga = \frac{{cos(a)}}{{sin(a)}}\]

Теперь подставим найденные значения в уравнение и решим его:

\[4\left(\frac{{sin(a)}}{{cos(a)}}\right) - 4\left(\frac{{cos(a)}}{{sin(a)}}\right) = 15\]

\[4sin(a)sin(a) - 4cos(a)cos(a) = 15cos(a)sin(a)\]

Сократим на \(sin(a)\) или \(cos(a)\), и используя тригонометрические тождества, получим:

\[4sin^2(a) - 4cos^2(a) = 15cos(a)sin(a)\]
\[4(sin^2(a) - cos^2(a)) = 15cos(a)sin(a)\]
\[4(-cos^2(a)) = 15cos(a)sin(a)\]

Теперь используем известные значения \(sin(a)\) и \(cos(a)\) в заданном диапазоне от \(3\pi/2\):

\[4(-(-1)) = 15(-1)\]
\[4 = -15\]

Мы получили противоречие, так как у нас не может быть равенства числа 4 и -15. Это означает, что задача не имеет решения в заданных пределах.

Таким образом, значение \(cos2a\) не может быть определено при данных условиях.